\mnb150<nb wrap="0" txtwidth="80" autowidth="0" pprint="1" typeset="1" xface="Times New Roman" xsize="280" xbold="0" xitalic="0" xcolor="#0000FF" slidents="1" sizemult="71" minsize="160" ifont="0 280 255 0 49 Courier New" ofont="0 280 16711680 0 49 Courier New" tfont="0 280 0 0 34 Arial"></nb>ÿ{\rtf1\ansi\deff0\deftab720{\fonttbl{\f0\fswiss MS Sans Serif;}{\f1\froman\fcharset2 Symbol;}{\f2\fswiss\fprq2 System;}{\f3\fmodern\fprq1 Courier New;}{\f4\fswiss\fprq2 Arial;}{\f5\fswiss\fprq2 Helvetica;}}
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\deflang1031\pard\ri4\plain\f3\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par 
\par \plain\f3\fs20\cf0 Inhalt....: Visualisierung der Normalverteilung 
\par Kategorie.: Arbeitsblatt
\par Mathematik: Stochastik, Statistik, Programmierung  
\par MuPAD.....: 3.0.0
\par Datum.....: 2005-12-20
\par Autoren...: Kai Gehrs <gehrs@mupad.de>
\par Funktionen: stats::normalCDF, if, elif, else, plot::Function2d, plot::Hatch, 
\par Funktionen: XAxisTitle, YAxisTitle, Header  
\par \plain\f3\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs28\cf2 
\par \plain\f4\fs36\cf0\b Visualisierung der Normalverteilung
\par \plain\f4\fs28\cf0 
\par In diesem Arbeitsblatt stellen wir eine Prozedur zur Verf\'fcgung, mit deren
\par Hilfe sich die Normalverteilung visualsieren l\'e4sst und zus\'e4tzlich die ent-
\par sprechenden Wahrscheinlichkeiten berechnen und visualisieren lassen. 
\par Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann mit Ber\'fccksichtung der so-
\par genannten "Stetigkeitskorrektur" (plus/minus 1/2 im Argument der zuge-
\par h\'f6rigen Gau\'df'schen Glockenkurve) oder ohne Ber\'fccksichtung der Stetig-
\par keitskorrektur erfolgen. Im folgenden wird davon ausgegangen, dass die 
\par betrachtete normalverteilte Zufallsgr\'f6\'dfe sich als Approximation einer durch
\par eine entsprechende Binomialverteilung gegebenen Zufallsgr\'f6\'dfe ergibt.  
\par 
\par Die folgende Prozedur \plain\f3\fs28\cf2 NormalV\plain\f4\fs28\cf0  kann mit 3 oder 4 Argumenten aufgerufen
\par werden: 
\par 
\par \pard\li500\ri4\plain\f4\fs28\cf0\b erstes Argument -\plain\f4\fs28\cf0  \plain\f3\fs28\cf2 mu\plain\f4\fs28\cf0 
\par \pard\li1000\ri4\plain\f4\fs28\cf0 bezeichnet den Erwartungswert einer normalverteilten 
\par Zufallsgr\'f6\'dfe 
\par 
\par \pard\li500\ri4\plain\f4\fs28\cf0\b zweites Argument -\plain\f4\fs28\cf0  \plain\f3\fs28\cf2 sigma\plain\f4\fs28\cf0 
\par \pard\li1000\ri4\plain\f4\fs28\cf0 bezeichnet die Standardabweichung einer normalverteilten 
\par Zufallsgr\'f6\'dfe
\par 
\par \pard\li500\ri4\plain\f4\fs28\cf0\b drittes Argument -\plain\f4\fs28\cf0  \plain\f3\fs28\cf2 Bereich\plain\f4\fs28\cf0 
\par \pard\li1000\ri4\plain\f4\fs28\cf0 bezeichnet die Spanne f\'fcr die entsprechende normal-
\par verteilte Zufallsgr\'f6\'dfe mit Parametern \plain\f3\fs28\cf2 mu\plain\f4\fs28\cf0  und \plain\f3\fs28\cf2 sigma\plain\f4\fs28\cf0 , 
\par f\'fcr die die Wahrscheinlichkeit betrachtet werden soll 
\par 
\par \plain\f4\fs28\cf0\b Formal:\plain\f4\fs28\cf0  Ist X eine normalverteilte Zufallsgr\'f6\'dfe mit 
\par Erwartungswert \plain\f3\fs28\cf2 mu\plain\f4\fs28\cf0  und Standardabweichung \plain\f3\fs28\cf2 sigma\plain\f4\fs28\cf0 , so 
\par werden die Werte
\par 
\par \pard\li2500\ri4\plain\f4\fs28\cf0\b Bereich[1] <= X <= Bereich[2]\plain\f4\fs28\cf0 
\par 
\par \pard\li1000\ri4\plain\f4\fs28\cf0 betrachtet 
\par 
\par \pard\li500\ri4\plain\f4\fs28\cf0\b viertes Argument -\plain\f4\fs28\cf0  \plain\f3\fs28\cf2 opt\plain\f4\fs28\cf0  \plain\f4\fs28\cf0\b (optional)\plain\f4\fs28\cf0  
\par \pard\li1000\ri4\plain\f4\fs28\cf0 unterscheidet zwischen der gew\'e4hlten Art der Visualisierung. 
\par 
\par \plain\f3\fs28\cf2 opt = Graph\plain\f4\fs28\cf0  
\par \pard\li1500\ri4\plain\f4\fs28\cf0 grafische Darstellung der Normalverteilung in Form 
\par der Gau\'df-Glocke, wobei derjenige Bereich zwischen 
\par Funktion und x-Achse gef\'e4rbt wird, der sich in dem 
\par angegebenen Bereich befindet (und damit der be-
\par rechneten Wahrscheinlichkeit entspricht) 
\par 
\par \pard\li1000\ri4\plain\f3\fs28\cf2 opt = wCC\plain\f4\fs28\cf0 
\par \pard\li1500\ri4\plain\f4\fs28\cf0 Berechnung der Wahrscheinlichkeit 
\par \pard\li2500\ri4\plain\f4\fs28\cf0 P(Bereich[1] <= X <= Bereich[2])
\par \pard\li1500\ri4\plain\f4\fs28\cf0 durch die Normalverteilung (X wird als binomialverteilte 
\par Zufallsgr\'f6\'dfe angenommen, die durch die Normalverteilung 
\par approximiert wird) ohne Stetigkeitskorrektur
\par 
\par \pard\li500\ri4\plain\f4\fs28\cf0 Wird die Prozedur nur mit 3 Argumenten aufgerufen, so wird die 
\par Wahrscheinlichkeit P(Bereich[1] <= X <= Bereich[2]) durch die 
\par Normalverteilung (X wird als binomialverteilte Zufallsgr\'f6\'dfe ange-
\par nommen, die durch die Normalverteilung approximiert wird) unter 
\par zus\'e4tzlicher Verwendung der Stetigkeitskorrektur berechnet. 
\par 
\par \pard\ri4\plain\f4\fs28\cf0 Der Code der Prozedur ist f\'fcr den interessierten Leser entsprechend mit 
\par Kommentaren versehen. 
\par \pard\li1000\ri4\plain\f4\fs28\cf0 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}NormalV:= proc(mu, sigma, Bereich, opt)
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs22\cf2     local F, G, H, cdf;
\par   begin
\par     if args(0) = 4 and opt = Graph then 
\par       F:= plot::Function2d(1/sigma * 1/sqrt(2*PI) * exp(-(x-mu)^2/(2*sigma^2)), 
\par                            x = mu-mu*2..mu+2*mu, LineWidth = 0.5,
\par                            XAxisTitle = "x", YAxisTitle = "phi(x)"):
\par       G:= plot::Function2d(1/sigma * 1/sqrt(2*PI) * exp(-(x-mu)^2/(2*sigma^2)), 
\par                            x = Bereich): 
\par       H:= plot::Hatch(G, FillPattern = Solid):
\par       plot(F,H,Header = "Normalverteilung")
\par     elif args(0) = 4 and opt = wCC then 
\par       return(float(int(1/sigma * 1/sqrt(2*PI) * exp(-(x-mu)^2/(2*sigma^2)), 
\par                        x = Bereich[1]..Bereich[2])));
\par     else
\par       cdf:= float@stats::normalCDF(mu,sigma^2);
\par       return(cdf(Bereich[2]) - cdf(Bereich[1]-1));        
\par     end_if;
\par   end_proc:
\par \plain\f3\fs28\cf2 
\par \pard\ri4\plain\f4\fs28\cf0 Wir w\'e4hlen im folgenden die Parameter mu = 100, sigma = 25: 
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}mu:= 100: sigma:= 25:
\par \pard\ri4\plain\f4\fs28\cf0 
\par Ist X eine binomialverteilte Zufallsgr\'f6\'dfe mit entsprechendem Erwartungs-
\par wert und entsprechender Standardabweichung, so ist die Wahrscheinlichkeit, 
\par dass X Werte aus dem Bereich von 50 bis 85 annimmt, n\'e4herungsweise ge-
\par geben durch: 
\par \plain\f3\fs28\cf2 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}NormalV(mu, sigma, 50..85)
\par \pard\ri4\plain\f4\fs28\cf0 Wird die Wahrscheinlichkeit ohne Einbeziehung der Stetigkeitskorrektur
\par berechnet, so zeigt sich der bekannte Effekt, dass es zur Untersch\'e4tzung
\par der tats\'e4chlichen Wahrscheinlichkeit kommt: 
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}NormalV(mu, sigma, 50..85, wCC)
\par \pard\ri4\plain\f4\fs28\cf0 Die so berechnete Wahrscheinlichkeit liegt etwa 0.2 Prozentpunkte unter 
\par dem zuvor berechneten Ergebnis. 
\par 
\par Eine entsprechende grafische Visualsierung der berechneten Wahrschein-
\par lichkeit erhalten wir \'fcber: 
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}NormalV(mu, sigma, 50..85, Graph)
\par \pard\ri4\plain\f3\fs20\cf0\b _______________________________________________________________________________
\par \plain\f4\fs22\cf0 
\par \plain\f4\fs22\cf1\b Anmerkungen:\plain\f4\fs22\cf1 
\par \plain\f4\fs20\cf1\b 1\plain\f4\fs20\cf1 .  Weitere Anregungen finden Sie in der Buchreihe \plain\f4\fs20\cf2 Mathematik 1 x anders\plain\f4\fs20\cf1 . In dieser Reihe 
\par      wird eine Vielzahl unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD gel\'f6st. Die 
\par      B\'fccher k\'f6nnen unter \plain\f5\fs20\cf3 www.schule.mupad.de/literatur \plain\f4\fs20\cf1 kostenfrei kopiert werden. 
\par \plain\f4\fs20\cf3 
\par \plain\f3\fs20\cf0\b _______________________________________________________________________________\plain\f3\fs28\cf2 
\par 
\par }