\mnb150<nb wrap="0" txtwidth="80" autowidth="0" pprint="1" typeset="1" xface="Times New Roman" xsize="280" xbold="0" xitalic="0" xcolor="#0000FF" slidents="1" sizemult="71" minsize="160" ifont="0 280 255 0 49 Courier New" ofont="0 280 16711680 0 49 Courier New" tfont="0 280 0 0 34 Arial"></nb>ÿ{\rtf1\ansi\deff0\deftab720{\fonttbl{\f0\fswiss MS Sans Serif;}{\f1\froman\fcharset2 Symbol;}{\f2\fswiss\fprq2 System;}{\f3\fmodern\fprq1 Courier New;}{\f4\fswiss\fprq2 Arial;}{\f5\fswiss\fprq2 Helvetica;}}
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\deflang1031\pard\ri4\plain\f3\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par 
\par \plain\f3\fs20\cf0 Inhalt....: Visualisierung der Binomialverteilung 
\par Kategorie.: Arbeitsblatt
\par Mathematik: Stochastik, Statistik, Programmierung  
\par MuPAD.....: 3.0.0
\par Datum.....: 2005-12-20
\par Autoren...: Kai Gehrs <gehrs@mupad.de>
\par Funktionen: stats::binomialPF, stats::binomialCDF, if, elif, else, 
\par Funktionen: plot::Rectangle, plot::Function2d, XAxisTitle, YAxisTitle, Header  
\par \plain\f3\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs28\cf2 
\par \plain\f4\fs36\cf0\b Visualisierung der Binomialverteilung
\par \plain\f4\fs28\cf0 
\par In diesem Arbeitsblatt stellen wir eine Prozedur zur Verf\'fcgung, mit deren
\par Hilfe sich Binomialverteilungen visualsieren und zus\'e4tzlich die entsprechen-
\par den Wahrscheinlichkeiten berechnen lassen. 
\par 
\par Die folgende Prozedur \plain\f3\fs28\cf2 BinomialV\plain\f4\fs28\cf0  kann mit 3 oder 4 Argumenten aufgerufen
\par werden: 
\par 
\par \pard\li500\ri4\plain\f4\fs28\cf0\b erstes Argument -\plain\f4\fs28\cf0  \plain\f3\fs28\cf2 n\plain\f4\fs28\cf0 
\par \pard\li1000\ri4\plain\f4\fs28\cf0 bezeichnet die Anzahl der unabh\'e4ngigen Wiederholungen 
\par des Bernoulli-Experiments
\par 
\par \pard\li500\ri4\plain\f4\fs28\cf0\b zweites Argument -\plain\f4\fs28\cf0  \plain\f3\fs28\cf2 p\plain\f4\fs28\cf0 
\par \pard\li1000\ri4\plain\f4\fs28\cf0 bezeichnet die Trefferwahrscheinlichkeit oder auch Erfolgs-
\par wahrscheinlichkeit des Bernoulli-Experiments
\par 
\par \pard\li500\ri4\plain\f4\fs28\cf0\b drittes Argument -\plain\f4\fs28\cf0  \plain\f3\fs28\cf2 Bereich\plain\f4\fs28\cf0 
\par \pard\li1000\ri4\plain\f4\fs28\cf0 bezeichnet die Spanne f\'fcr die entsprechende binomial-
\par verteilte Zufallsgr\'f6\'dfe mit Parametern n und p, f\'fcr die 
\par die Wahrscheinlichkeit betrachtet werden soll 
\par 
\par \plain\f4\fs28\cf0\b Formal:\plain\f4\fs28\cf0  Ist X eine binomialverteilte Zufallsgr\'f6\'dfe mit 
\par Parametern n und p, so werden die Werte
\par 
\par \pard\li2500\ri4\plain\f4\fs28\cf0\b Bereich[1] <= X <= Bereich[2]\plain\f4\fs28\cf0 
\par 
\par \pard\li1000\ri4\plain\f4\fs28\cf0 betrachtet 
\par 
\par \pard\li500\ri4\plain\f4\fs28\cf0\b viertes Argument -\plain\f4\fs28\cf0  \plain\f3\fs28\cf2 opt\plain\f4\fs28\cf0  \plain\f4\fs28\cf0\b (optional)\plain\f4\fs28\cf0  
\par \pard\li1000\ri4\plain\f4\fs28\cf0 unterscheidet zwischen der gew\'e4hlten Art der Visualisierung. 
\par 
\par \plain\f3\fs28\cf2 opt = Graph\plain\f4\fs28\cf0  
\par \pard\li1500\ri4\plain\f4\fs28\cf0 grafische Darstellung der Binomialverteilung \'fcber 
\par S\'e4ulendiagramme, wobei diejenigen S\'e4ulen, die 
\par sich in dem angegebenen Bereich befinden, extra
\par eingef\'e4rbt werden
\par 
\par \pard\li1000\ri4\plain\f3\fs28\cf2 opt = Glocke\plain\f4\fs28\cf0 
\par \pard\li1500\ri4\plain\f4\fs28\cf0 grafische Darstellung der Binomialverteilung \'fcber 
\par S\'e4ulendiagramme, wobei diejenigen S\'e4ulen, die 
\par sich in dem angegebenen Bereich befinden, extra
\par eingef\'e4rbt werden und zus\'e4tzlich die zugeh\'f6rige 
\par Gau\'df-Glocke mit eingezeichnet wird
\par 
\par \pard\li500\ri4\plain\f4\fs28\cf0 Wird die Prozedur nur mit 3 Argumenten aufgerufen, so wird die 
\par Wahrscheinlichkeit P(Bereich[1] <= X <= Bereich[2]) f\'fcr eine mit 
\par den Parametern n und p binomialverteilte Zufallsgr\'f6\'dfe X ausge-
\par geben. 
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}BinomialV:= proc(n, p, Bereich, opt)
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs22\cf2     local i, pf, cdf;
\par   begin
\par     if args(0) = 4 and opt = Graph then 
\par       pf:= stats::binomialPF(n,p):
\par       plot( plot::Rectangle(i-0.5..i+0.5, 0..pf(i), 
\par                             FillColor = RGB::Red, 
\par                             Filled) 
\par             $ i = 0..n,
\par             plot::Rectangle(i-0.5..i+0.5, 0..pf(i), 
\par                             FillColor = RGB::Red, 
\par                             Filled, FillPattern = Solid) 
\par             $ i = Bereich, 
\par             XAxisTitle = "k", YAxisTitle = "B(n,p,k)", 
\par             Header = "Binomialverteilung"
\par            )
\par     elif args(0) = 4 and opt = Glocke then 
\par       pf:= stats::binomialPF(n,p):
\par       plot( plot::Rectangle(i-0.5..i+0.5, 0..pf(i), 
\par                             FillColor = RGB::Red, 
\par                             Filled) 
\par             $ i = 0..n,
\par             plot::Rectangle(i-0.5..i+0.5, 0..pf(i), 
\par                             FillColor = RGB::Red, 
\par                             Filled, FillPattern = Solid) 
\par             $ i = Bereich, 
\par             XAxisTitle = "k", YAxisTitle = "B(n,p,k)",
\par             plot::Function2d(1/sqrt(n*p*(1-p)) * 1/sqrt(2*PI) * 
\par                              exp(-(x-n*p)^2/(2*n*p*(1-p))), 
\par                              x = -0.5..n, LineWidth = 0.5), 
\par             Header = "Binomialverteilung mit Gauss-Glocke"
\par            )
\par     else
\par       cdf:= stats::binomialCDF(n,p): 
\par       return(cdf(Bereich[2]) - cdf(Bereich[1]-1))
\par     end_if; 
\par end_proc:
\par \plain\f3\fs28\cf2 
\par \pard\ri4\plain\f4\fs28\cf0 Wir w\'e4hlen im folgenden die Parameter n = 20 und p = 3/4. 
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}n:= 20: p:= 3/4:
\par \pard\ri4\plain\f4\fs28\cf0 
\par Ist X eine binomialverteilte Zufallsgr\'f6\'dfe zu diesen Parameterwerten, so ist die 
\par Wahrscheinlichkeit, dass X Werte aus dem Bereich von 16 bis 18 annimmt, 
\par gegeben durch: 
\par \plain\f3\fs28\cf2 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}BinomialV(n, p, 16..18)
\par \pard\ri4\plain\f4\fs28\cf0 N\'e4herungsweise ergibt das: 
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}float(BinomialV(n, p, 16..18))
\par \pard\ri4\plain\f4\fs28\cf0 Die zu der Wahrscheinlichkeit geh\'f6rige Fl\'e4che, die sich ergibt, wenn man die 
\par gesamte Binomialverteilung zu den gew\'e4hlten Werten f\'fcr n und p in Form eines
\par S\'e4ulendiagramms darstellt, ergibt sich zu: 
\par \plain\f3\fs28\cf2 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}BinomialV(n, p, 16..18, Graph)
\par \pard\ri4\plain\f4\fs28\cf0 
\par Zus\'e4tzlich kann die zugeh\'f6rige Gau\'df-Glocke mit eingezeichnet werden: 
\par \plain\f3\fs28\cf2 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}BinomialV(n, p, 16..18, Glocke)
\par \pard\ri4\plain\f3\fs20\cf0\b _______________________________________________________________________________
\par \plain\f4\fs22\cf0 
\par \plain\f4\fs22\cf1\b Anmerkungen:\plain\f4\fs22\cf1 
\par \plain\f4\fs20\cf1\b 1\plain\f4\fs20\cf1 .  Weitere Anregungen finden Sie in der Buchreihe \plain\f4\fs20\cf2 Mathematik 1 x anders\plain\f4\fs20\cf1 . In dieser Reihe 
\par      wird eine Vielzahl unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD gel\'f6st. Die 
\par      B\'fccher k\'f6nnen unter \plain\f5\fs20\cf3 www.schule.mupad.de/literatur \plain\f4\fs20\cf1 kostenfrei kopiert werden. 
\par \plain\f4\fs20\cf3 
\par \plain\f3\fs20\cf0\b _______________________________________________________________________________\plain\f3\fs28\cf2 
\par 
\par }