\mnb150<nb wrap="0" txtwidth="80" autowidth="0" pprint="1" typeset="1" xface="Times New Roman" xsize="280" xbold="0" xitalic="0" xcolor="#0000FF" slidents="1" sizemult="71" minsize="160" ifont="0 280 255 0 49 Courier New" ofont="0 280 16711680 0 49 Courier New" tfont="0 280 0 0 34 Arial"></nb>ÿ{\rtf1\ansi\deff0\deftab720{\fonttbl{\f0\fswiss MS Sans Serif;}{\f1\froman\fcharset2 Symbol;}{\f2\fswiss\fprq2 System;}{\f3\fmodern\fprq1 Courier New;}{\f4\fswiss\fprq2 Arial;}{\f5\fswiss\fprq2 Helvetica;}}
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\deflang1031\pard\ri4\plain\f3\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par 
\par \plain\f3\fs20\cf0 Inhalt....: Visualisierung der Taylorreihenentwicklung
\par Kategorie.: Arbeitsblatt
\par Mathematik: Analysis, Numerik
\par MuPAD.....: 3.0.0
\par Datum.....: 2002-01-17
\par Autoren...: Kai Gehrs <acrowley@mupad.de>
\par Funktionen: taylor, plotfunc2d, expr
\par \plain\f3\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par \plain\f4\fs36\cf0\b 
\par \plain\f4\fs40\cf0\b Visualisierung der Taylorreihenentwicklung 
\par zur Approximiation von Funktionen - ...oder 
\par eine mathematische Dia-Show mit MuPAD\plain\f4\fs36\cf0\b 
\par \plain\f4\fs22\cf0 
\par \plain\f4\fs24\cf3 Das Beispiel liefert eine graphische Interpretation der Approximation von Funktionen \'fcber 
\par Taylorreihenentwicklungen und veranschaulicht die zunehmende Angleichung der Funktions-
\par graphen mit Zunahme der Ordnung.
\par \plain\f4\fs22\cf0 
\par \plain\f4\fs28\cf0 Wir definieren zun\'e4chst eine \plain\f4\fs28\cf0\i e \plain\f4\fs28\cf0 - Funktion: 
\par \plain\f4\fs22\cf0 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}f:= exp(x) * (x^2 - x)
\par \pard\ri4\plain\f4\fs28\cf0 
\par Nun berechnen wir die ersten 12 Glieder der Taylorreihe von \plain\f4\fs28\cf0\i f. \plain\f4\fs28\cf0 Dabei 
\par w\'e4hlen wir den Koordinatenursprung als Entwicklungspunkt:  
\par \plain\f4\fs22\cf0  
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}t:= taylor(f, x = 0, 12)
\par \pard\ri4\plain\f4\fs28\cf0 
\par Jetzt erzeugen wir eine "mathematische Dia-Schow" - dazu zeichnen wir 
\par stets die Funktion \plain\f4\fs28\cf0\i f\plain\f4\fs28\cf0  und die ersten \plain\f4\fs28\cf0\i k\plain\f4\fs28\cf0  Glieder ihrer Taylorreihe in ein  
\par Koordinatensystem - dabei ist die rote Funktion unsere \plain\f4\fs28\cf0\i e\plain\f4\fs28\cf0  - Funktion 
\par und der blaue Graph visualisiert die entsprechenden ersten \plain\f4\fs28\cf0\i k\plain\f4\fs28\cf0  Glieder 
\par der Taylorreihe an \plain\f4\fs28\cf0\i f\plain\f4\fs28\cf0 . 
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}hold(k = 2); 
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs28\cf2 plotfunc2d(f, expr(taylor(f, x = 0, 2)) , x = -3..3, 
\par               YRange = -2..4);
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}hold(k = 3); 
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs28\cf2 plotfunc2d(f, expr(taylor(f, x = 0, 3)) , x = -3..3, 
\par               YRange = -2..4);
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}hold(k = 4); 
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs28\cf2 plotfunc2d(f, expr(taylor(f, x = 0, 4)) , x = -3..3, 
\par               YRange = -2..4);
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}hold(k = 5); 
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs28\cf2 plotfunc2d(f, expr(taylor(f, x = 0, 5)) , x = -3..3, 
\par               YRange = -2..4);
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}hold(k = 6); 
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs28\cf2 plotfunc2d(f, expr(taylor(f, x = 0, 6)) , x = -3..3, 
\par               YRange = -2..4);
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}hold(k = 7); 
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs28\cf2 plotfunc2d(f, expr(taylor(f, x = 0, 7)) , x = -3..3, 
\par               YRange = -2..4);
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}hold(k = 8); 
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs28\cf2 plotfunc2d(f, expr(taylor(f, x = 0, 8)) , x = -3..3, 
\par               YRange = -2..4);
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}hold(k = 9); 
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs28\cf2 plotfunc2d(f, expr(taylor(f, x = 0, 9)) , x = -3..3, 
\par               YRange = -2..4);
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}hold(k = 10); 
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs28\cf2 plotfunc2d(f, expr(taylor(f, x = 0, 10)) , x = -3..3, 
\par               YRange = -2..4);
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}hold(k = 11); 
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs28\cf2 plotfunc2d(f, expr(taylor(f, x = 0, 11)), x = -3..3, 
\par               YRange = -2..4);
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}hold(k = 12); 
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs28\cf2 plotfunc2d(f, expr(taylor(f, x = 0, 12)), x = -3..3, 
\par               YRange = -2..4);
\par \pard\ri4\plain\f4\fs28\cf0 
\par Die Funktionen sind nun, au\'dfer im linken Bildrand, gar nicht mehr zu unter-
\par scheiden. Unsere \plain\f4\fs28\cf0\i e\plain\f4\fs28\cf0  - Funktion ist also eine "gutm\'fctige Funktion", die sich 
\par durch ein Polynom sehr gut approximieren l\'e4\'dft.  
\par \plain\f3\fs22\cf2 
\par \plain\f3\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par \plain\f4\fs22\cf0 
\par \plain\f4\fs22\cf3\b Anmerkungen:\plain\f4\fs22\cf3 
\par \plain\f4\fs20\cf3\b 1. \plain\f4\fs20\cf3  Der obige Prozess funktionert nat\'fcrlich nicht immer so gut - weist die betrachtete Funktion z.B. 
\par      Polstellen auf, so k\'f6nnen wir kein so guten Ergebnis erwarten. 
\par 
\par \plain\f4\fs20\cf3\b 2\plain\f4\fs20\cf3 .  N\'e4here Information zu der MuPAD-Funktion \plain\f4\fs20\cf2 taylor \plain\f4\fs20\cf3 oder auch zu \plain\f4\fs20\cf2 plotfunc2d\plain\f4\fs20\cf3  erh\'e4lt man durch
\par      \plain\f4\fs20\cf2 ?taylor\plain\f4\fs20\cf3  bzw. \plain\f4\fs20\cf2 ?plotfunc2d
\par \plain\f4\fs20\cf3 
\par \plain\f4\fs20\cf3\b 3\plain\f4\fs20\cf3 .  Zum Zeichen der Funktionen kann man auch \plain\f4\fs20\cf2 plot::Function2d\plain\f4\fs20\cf3  benutzen. Diese Funktion bietet 
\par      sich vor allem dann an, wenn man nicht nur Funktionen, sondern auch andere Objekte 
\par      (wie z.B. Zehalnefolgen) mit Funktionen in ein Koordinatensystem zeichnen m\'f6chte.  
\par 
\par \plain\f4\fs20\cf3\b 4\plain\f4\fs20\cf3 .  Weitere Anregungen finden Sie in der Buchreihe \plain\f4\fs20\cf2 Mathematik 1 x anders\plain\f4\fs20\cf3 . In dieser Reihe 
\par      wird eine Vielzahl unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD gel\'f6st. Die 
\par      B\'fccher k\'f6nnen unter \plain\f5\fs20\cf1 www.schule.mupad.de/literatur\plain\f4\fs20\cf3  kostenfrei kopiert werden. 
\par \plain\f4\fs20\cf1 
\par \plain\f3\fs20\cf0\b _______________________________________________________________________________
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