\mnb150ÿ{\rtf1\ansi\deff0\deftab720{\fonttbl{\f0\fswiss MS Sans Serif;}{\f1\froman\fcharset2 Symbol;}{\f2\fswiss\fprq2 System;}{\f3\fmodern\fprq1 Courier New;}{\f4\fswiss\fprq2\fcharset1 Arial;}{\f5\froman\fcharset1 Times New Roman;}{\f6\fmodern\fprq1\fcharset1 Courier New;}{\f7\froman\fprq2 Times New Roman;}{\f8\fswiss\fprq2 Arial;}{\f9\fswiss\fprq2 Arial Black;}} {\colortbl\red0\green0\blue0;\red0\green128\blue0;\red255\green0\blue0;\red0\green0\blue255;\red128\green128\blue128;} \deflang1031\pard\ri4\plain\f3\fs20\cf0\b _____________________________________________________________________________________ \par \plain\f3\fs20\cf0 \par Inhalt....: \plain\f6\fs20\cf0 Simulationen von Wurfbewegungen unter Ber\'fccksichtigung des Luftwiderstands\plain\f3\fs20\cf0 \par Kategorie.: Unterrichtsmaterial \par Mathematik: Physik \par MuPAD.....: 3.1.0 \par Datum.....: 2006-02-23 \par Autoren...: G\'fcnter vom Stein \par Funktionen: plot::Point2d, plot::Curve2d, YAxesTitle, YAxesTitleOrientation \par Funktionen: plot::PointList2, plot::Function2d, ViewingBox, GridVisible, \par Funktionen: VisibleFromTo, repeat, float, print, NoNL, Unquoted, expr2text \par Freitext..: Selbstlernmaterial/Dialog mit Experiment im Bereich Mechanik/Dynamik \par \plain\f3\fs20\cf0\b _____________________________________________________________________________________ \par \plain\f4\fs24\cf1 \par \plain\f4\fs24\cf1\b Die Ber\'fccksichtigung des Luftwiderstands wurde in der Physik der Mechanik in der \par Vergangenheit oft vernachl\'e4ssigt, weil ein Zugang \'fcber Gleichungen mit schulischen \par Mitteln in der Jgst. 11 nicht m\'f6glich ist. Die Simulation benutzt jedoch nur konstante \par Kr\'e4fte und Geschwindigkeiten auf geraden Streckenabschnitten. Dabei wird keine \par kontinuierliche Bahnkurve berechnet, sondern ein Polygonzug. Die Bahnkurve erh\'e4lt \par man n\'e4herungsweise als Menge von Punkten, und zwar den Ecken des Polygonzugs. \par Bei Wahl immer kleinerer Zeiteinheiten unterscheidet sich die simulierte Bahn immer \par weniger von der "wahren" Bahn. Die G\'fcte der N\'e4herung kann studiert werden, wenn \par man den Fall "Luftwiderstand gleich Null" simuliert und die so gewonnene Bahn mit \par der aus Gleichungen berechneten theoretischen Bahn vergleicht. \par \plain\f3\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________ \par \plain\f5\fs28\cf0 \par \plain\f5\fs28\cf0\ul Inhalte\plain\f5\fs28\cf0 : \par \par Teil I Allgemeiner (schr\'e4ger) Wurf, Basiselement \par \plain\f7\fs28\cf0 \par Teil II \plain\f5\fs28\cf0 Simulation des Wurfes einer Holzkugel bzw. einer aus Alufolie geformten Kugel \par \plain\f7\fs28\cf0 mit experimenteller Kontrolle\plain\f5\fs28\cf0 \par \plain\f7\fs28\cf0 \par Teil III Kugelsto\'dfen,\plain\f5\fs28\cf0 Wurfweite in Abh\'e4ngigkeit vom Abwurfwinkel \par Kugelsto\'dfen in Mexiko City (2240 m \'fc. NN) \par \par \plain\f7\fs28\cf0 Teil IV Freier Fall eines Papier-Kegels \par \plain\f5\fs28\cf0 Luftwiderstand proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit \par \plain\f3\fs20\cf0\b _____________________________________________________________________________________ \par \plain\f5\fs28\cf0 \par \par Teil I Allgemeiner (schr\'e4ger) Wurf, Basiselement \par \par \plain\f7\fs24 Die Simulation beruht auf einem bewussten, prinzipiellen Fehler: Man stellt sich die Flugbahn als einen Polygonzug \par (= Folge von Streckenabschnitten) vor. Die Kugel fliegt jeweils f\'fcr eine Zeiteinheit dt geradeaus und f\'fchrt am Ende \par dieses Geradenst\'fccks eine ruckartige Richtungs\'e4nderung durch. \par \par Die Richtungs\'e4nderung wird in jedem Schleifendurchgang einer entsprechenden MuPAD-Prozedur neu berechnet. \par Falls man den Zeitabschnitt klein genug w\'e4hlt, kann man von einer hinreichend guten N\'e4herung an den tats\'e4chlichen \par Kurvenverlauf ausgehen. \par \par In der Skizze geht man von einer Momentaufnahme mit der Momentangeschwindigkeit v aus. Man stellt sich die \par Geschwindigkeit aufgespalten in die Komponenten vx und vy vor. \par Die Bewegung der Kugel in Richtung von v hat die Luftreibungs-Bremskraft zur Folge: \par {\object\objemb{\*\objclass Paint.Picture}{\*\objname Object1}\objw2864\objh389\objscalex93\objscaley96{\*\objdata 01050000 02000000 07000000 50427275736800 00000000 00000000 C03A0000 424DB63A0000000000003600000028000000BF0000001A0000000100180000000000803A000000 000000000000000000000000000000FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF 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Die beiden Parallelogramme (bzw. \par Rechtecke) sind zueinander \'e4hnlich. Daher gilt \par {\object\objemb{\*\objclass Paint.Picture}{\*\objname Object1}\objw6283\objh719\objscalex92\objscaley92{\*\objdata 01050000 02000000 07000000 50427275736800 00000000 00000000 80EC0000 424D76EC0000000000003600000028000000A301000030000000010018000000000040EC000000 000000000000000000000000000000FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF 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