\mnb150ÿ{\rtf1\ansi\deff0\deftab720{\fonttbl{\f0\fswiss MS Sans Serif;}{\f1\froman\fcharset2 Symbol;}{\f2\fswiss\fprq2 System;}{\f3\fmodern\fprq1 Courier New;}{\f4\fswiss\fprq2 Arial;}{\f5\fswiss\fprq2 Helvetica;}{\f6\fswiss\fprq2 Arial Narrow;}}
{\colortbl\red0\green0\blue0;\red255\green0\blue0;\red0\green128\blue0;\red0\green0\blue255;}
\deflang1031\pard\ri4\plain\f3\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par
\par \plain\f3\fs20\cf0 Inhalt....: Modellierung eines Strahlers mit MuPAD
\par Kategorie.: Arbeitsblatt
\par Mathematik: Analysis, Geometrie R^3, Numerik
\par MuPAD.....: 3.0.0
\par Datum.....: 2002-01-17
\par Autoren...: Andreas Sorgatz
\par Funktionen: plot, plot::Function2d, plot::XRotate, int, float
\par \plain\f3\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs22\cf1
\par \plain\f4\fs40\cf0\b Modellierung eines Strahlers mit MuPAD
\par \plain\f4\fs28\cf0
\par \plain\f4\fs24\cf2 Wir wollen MuPAD dazu verwenden, einen Strahler zu modellieren. Dabei ist es unser Ziel,
\par das Objekt so naturgetreu wie m\'f6glich zu gestalten.
\par
\par \plain\f4\fs28\cf0 Wir verwenden f\'fcr die sp\'e4tere graphische Ausgabe die folgenden Vor-
\par einstellungen:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Kamera := CameraDirection = [-10, -60, 0]:
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs28\cf1 a := 40: b := 8/10: c := 10:
\par \pard\ri4\plain\f4\fs28\cf0
\par Zun\'e4chst m\'fcssen wir eine Funktion w\'e4hlen, die die Seitenlinie des Glas-
\par k\'f6rpers beschreiben kann. Diese Funktion bezeichnen wir mit \plain\f4\fs28\cf1 Kontur\plain\f4\fs28\cf0 :
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Kontur = (K := x -> a * sqrt(x) * exp(-b*x) /
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs28\cf1 (1 + c * sqrt(x) * exp(-b*x)))\plain\f4\fs28\cf1\b
\par \pard\ri4\plain\f4\fs28\cf0
\par Die Funktion \plain\f4\fs28\cf1 Kontur\plain\f4\fs28\cf0 scheint hier geradezu "vom Himmel zu fallen". Der
\par Proze\'df, einige Funktionen auszutesten und ihre Graphen zu pr\'fcfen,
\par ob sie f\'fcr unsere Zwecke verwendbar sind, kann hier nat\'fcrlich nicht
\par im Detail dargestellt werden. Wir beschr\'e4nken uns daher darauf, die
\par von uns gew\'e4hlte Funktion zu betrachten.
\par
\par Ihren Graphen k\'f6nnen wir darstellen durch:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}plot(plot::Function2d(K(x), x = 0..5.4), GridVisible)
\par \pard\ri4\plain\f4\fs28\cf0 Das sieht schon recht gut aus - nun lassen wir den Graphen in dem
\par vorgegebenen Intervall 0..5.5 um die x-Achse rotieren. Auch solche
\par Rotationsk\'f6rper k\'f6nnen wir mit MuPAD darstellen. Dazu benutzen wir
\par die Funktion \plain\f4\fs28\cf1 plot::XRotate\plain\f4\fs28\cf0 aus der MuPAD \plain\f4\fs28\cf1 plot\plain\f4\fs28\cf0 -Bibliothek.
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Glas := plot::XRotate(K(x), x = 0..5.4, Submesh = [2, 2]):
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs28\cf1 plot(Glas, Kamera)
\par \pard\ri4\plain\f4\fs28\cf0
\par
\par Das Volumen dieses Rotationsk\'f6rpers im Intervall 0..5.5 ist gegeben
\par durch das bestimmte Integral
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Volumen = (V := PI * int(K(x)^2, x = 0..5.4))
\par \pard\ri4\plain\f4\fs28\cf0
\par Wir k\'f6nnen das Volumen n\'e4herungsweise bestimmen durch
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}float(V);\plain\f4\fs28\cf1
\par \pard\ri4\plain\f4\fs28\cf0
\par Damit ist der Glask\'f6rper des Strahlers modelliert. Nun fehlt noch
\par das Gewinde, mit dem man ihn in eine Fassung einschrauben kann.
\par F\'fcr das Gewinde w\'e4hlen wir eine Sinusfunktion. Dabei erh\'f6hen wir
\par die Periode der Funktion drastisch, um die wellenfr\'f6mige Seitenlinie
\par eines Gewindes zu simulieren:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}plot(plot::Function2d(1/9*sin(22*x) + K(5.3), x=5.4..6.71))\plain\f4\fs28\cf1
\par \pard\ri4\plain\f4\fs28\cf0
\par Lassen wir auch diese Funktion um die x-Achse rotieren, so erhalten wir
\par folgendes Schaubild:\plain\f3\fs22\cf3
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Gewinde := plot::XRotate(1/9*sin(22*x) + K(5.3),
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs28\cf1 x = 5.4..6.71, Submesh = [2, 2]):
\par plot(Gewinde, Scaling = Unconstrained, Kamera)\plain\f4\fs22\cf0
\par \pard\ri4\plain\f4\fs28\cf0
\par Abschlie\'dfend ben\'f6tigen wir noch den Kontakt, der unseren Strahler
\par beim Einschalten des Lichtschalters mit Strom versorgt. Diesen setzen
\par wir rechts an das Gewinde an - der Kontakt wird durch einfachere lineare
\par Funktionen modelliert:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}plot(plot::Function2d(-6*x + 41.26, x = 6.71..6.81),
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs28\cf1 plot::Function2d(-x + 7.21, x = 6.81..7.21))\plain\f4\fs28\cf0
\par \pard\ri4\plain\f4\fs28\cf0
\par Auf den ersten Blick m\'f6gen diese beiden Funktionen recht sinnlos
\par erscheinen. Man darf aber an dieser Stelle nicht vergessen, dass
\par das Darstellungsintervall 7..7.2 verschwindend klein ist - als
\par Rotationsk\'f6rper ergibt sich
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Kontakt := plot::XRotate(-6*x + 41.26, x = 6.71..6.81),
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs28\cf1 plot::XRotate(-x + 7.21, x = 6.81..7.1):
\par plot(Kontakt, Kamera)\plain\f6\fs40\cf1
\par \pard\ri4\plain\f4\fs28\cf0
\par und nun setzen wir alle Objekte zusammen zu einem gro\'dfen Rotationsk\'f6rper:\plain\f3\fs22\cf3
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}plot(Glas, Gewinde, Kontakt, Kamera, Scaling = Unconstrained)\plain\f6\fs28\cf1
\par \pard\ri4\plain\f3\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par \plain\f4\fs22\cf0
\par \plain\f4\fs22\cf2\b Anmerkungen:\plain\f4\fs22\cf2
\par \plain\f4\fs20\cf2\b 1\plain\f4\fs20\cf2 . Weitere Anregungen finden Sie in der Buchreihe \plain\f4\fs20\cf1 Mathematik 1 x anders\plain\f4\fs20\cf2 . In dieser Reihe
\par wird eine Vielzahl unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD gel\'f6st. Die
\par B\'fccher k\'f6nnen unter \plain\f5\fs20\cf3 www.schule.mupad.de/literatur\plain\f4\fs20\cf2 kostenfrei kopiert werden.
\par \plain\f4\fs20\cf3
\par \plain\f3\fs20\cf0\b _______________________________________________________________________________
\par \plain\f4\fs28\cf0
\par
\par \plain\f3\fs22\cf3
\par }