\mnb150ÿ{\rtf1\ansi\deff0\deftab720{\fonttbl{\f0\fswiss MS Sans Serif;}{\f1\froman\fcharset2 Symbol;}{\f2\fswiss\fprq2 System;}{\f3\fswiss\fprq2 Arial;}{\f4\fmodern\fprq1 Courier New;}{\f5\froman\fprq2 Times New Roman;}{\f6\fswiss\fprq2 Helvetica;}}
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\deflang1031\pard\ri4\plain\f4\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par
\par \plain\f4\fs20\cf0 Inhalt....: Rechengenauigkeit
\par Kategorie.: Grundkurs
\par Mathematik: Numerik
\par MuPAD.....: 3.1.0
\par Datum.....: 2004-03-31
\par Autoren...: Kai Gehrs
\par Funktionen: |, for, from, to, print, float, DIGITS
\par \plain\f4\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs36\cf0\b
\par \plain\f3\fs40\cf0\b Rechengenauigkeit
\par
\par \plain\f3\fs24\cf1 Dieses Arbeitsblatt ist Bestandteil des \plain\f3\fs24\cf1\b MuPAD Grundkurses\plain\f3\fs24\cf1 .\plain\f5\fs24
\par
\par \plain\f3\fs28 In der Einf\'fchrung zu diesem Kurs haben wir in der Rubrik "Erste Schritte" bereits
\par gelernt, dass man mit MuPAD wie mit einem gew\'f6hnlichen Taschenrechner rechnen
\par kann. Wesentlich ist jedoch, dass wir die Genauigkeit, mit der wir N\'e4herungswerte
\par z.B. f\'fcr L\'f6sungen von Gleichungen bestimmen, beliebig beeinflu\'dfen k\'f6nnen.
\par Gew\'f6hnliche Taschenrechner bieten in der Regel die M\'f6glichkeit, mit 8 signifikanten
\par Stellen zu rechnen. In MuPAD selbst wird standardm\'e4ssig mit 10 signifikanten
\par Stellen gerechnet. Dieser Wert kann jedoch ver\'e4ndert werden. In der Variablen
\par DIGITS ist stets die Rechengenauigkeit (standardm\'e4\'dfig der Wert 10) gespeichert.
\par Wir k\'f6nnten also durch die Zuweisung DIGITS:= 1000 fortan mit 1000-stelliger
\par Genauigkeit rechnen.
\par
\par Nun kann man sich fragen, wozu eine so hohe Genauigkeit nutzen soll. Den Grund
\par kann man schon an einem ganz einfachen Beispiel erkennen: Wir betrachten die
\par quadratische Gleichung
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}x^2 + 2*x + 1/i = 0
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28 f\'fcr die Werte i = 1, 2, 3, ... , 12. F\'fcr jedes i besitzt die entsprechende Gleichung
\par genau zwei L\'f6sungen. Aus \'dcbersichtsgr\'fcnden berechnen wir im folgenden nur
\par N\'e4herungswerte f\'fcr eine dieser beiden L\'f6sungen:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}for i from 1 to 12 do
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf2 print(Unquoted,"i = ".expr2text(i),
\par " x = ".expr2text(float( -1 - sqrt(1 - 1/(10^i)) )))
\par end_for:
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28 Die auf diese Weise berechneten Werte suggerieren, dass eine der beiden
\par L\'f6sungen der Gleichung f\'fcr alle i > 9 durch x = -2.0 gegeben ist. Die mathema-
\par tische Intuition sagt uns an dieser Stelle, dass dies auf keinen Fall korrekt sein
\par kann. Wir pr\'fcfen die letzten drei Ergebnisse f\'fcr i = 10, i = 11, i = 12 nach, indem
\par wir den den Wert x = -2.0 in die entsprechende Gleichung einsetzen:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}x^2 + 2*x + 1/(10^10) | x = -2;
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf2 x^2 + 2*x + 1/(10^11) | x = -2;
\par x^2 + 2*x + 1/(10^12) | x = -2
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28 Wir haben also tats\'e4chlich ein Problem, denn die linken Seiten der Gleichungen
\par denken gar nicht daran Null zu werden. Man nennt dieses Ph\'e4nomen in der nu-
\par merischen Fachsprache "Ausl\'f6schung". In unserem Fall tritt Ausl\'f6schung auf,
\par weil wir einfach mit zu geringer Genauigkeit rechnen. Daher erh\'f6hen wir die
\par Genauigkeit auf 20 signifikante Stellen und f\'fchren unsere obigen Berechnungen
\par erneut durch:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}DIGITS:= 20:
\par {\pntext\f1\'b7\tab}for i from 1 to 12 do
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf2 print(Unquoted,"i = ".expr2text(i),
\par " x = ".expr2text(float( -1 - sqrt(1 - 1/(10^i)) )))
\par end_for:
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28 Wie man sieht, liegen die L\'f6sungen f\'fcr wachsendes i zwar sehr nahe bei x = -2.0,
\par aber sie unterscheiden sich dennoch minimal von diesem Wert.
\par \plain\f4\fs20\cf0\b
\par ________________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs22\cf0
\par \plain\f3\fs22\cf1\b Anmerkungen:\plain\f3\fs22\cf1
\par \plain\f3\fs20\cf1\b 1\plain\f3\fs20\cf1 . Weitere Anregungen finden Sie in der Buchreihe \plain\f3\fs20\cf2 Mathematik 1 x anders\plain\f3\fs20\cf1 . In dieser Reihe
\par wird eine Vielzahl unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD gel\'f6st. Die
\par B\'fccher k\'f6nnen unter \plain\f6\fs20\cf3 www.schule.mupad.de/literatur\plain\f3\fs20\cf1 kostenfrei kopiert werden.
\par \plain\f3\fs20\cf3
\par \plain\f4\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par \plain\f4\fs28\cf2
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\par }