\mnb150ÿ{\rtf1\ansi\deff0\deftab720{\fonttbl{\f0\fswiss MS Sans Serif;}{\f1\froman\fcharset2 Symbol;}{\f2\fswiss\fprq2 System;}{\f3\fmodern\fprq1 Courier New;}{\f4\fmodern\fprq1\fcharset1 Courier New;}{\f5\fswiss\fprq2 Arial;}{\f6\fswiss\fprq2\fcharset1 Arial;}{\f7\froman\fprq2 Times New Roman;}{\f8\froman\fcharset1 Times New Roman;}{\f9\fswiss\fprq2 Helvetica;}} {\colortbl\red0\green0\blue0;\red255\green0\blue0;\red0\green128\blue0;\red0\green0\blue255;\red255\green255\blue255;} \deflang1031\pard\ri4\plain\f3\fs20\cf0 ________________________________________________________________________________ \par \par Inhalt....: Eine Prozedur f\'fcr Tilgungspl\'e4ne \par Kategorie.: Unterrichtsmaterial \par Mathematik: Programmierung, Analysis \par MuPAD.....: 3.1.0 \par Datum.....: 2006-10-24 \par Autoren...: August Barkhausen \par Funktionen: ceil, float, matrix, print, for, round, proc, local, if \par ________________________________________________________________________________ \par \plain\f6\fs20\cf0 \par \plain\f6\fs36\cf0 Eine Prozedur f\'fcr Tilgungspl\'e4ne. \par \plain\f6\fs24\cf2 \par In der Finanzmathematik (Zinseszins, degressive Abschreibung, Rentenrechung und Annuit\'e4ten- \par tilgung) geht es unter anderem um Anwendungen geometrischer Folgen und Reihen. \par Im folgenden wird eine Prozedur zur Aufstellung eines Tilgungsplans f\'fcr ein Annuit\'e4tendarlehen \par definiert und auf einige Standardprobleme angewandt. Letztlich handelt es sich auch um \par Probleme, die sich typischerweise mit einer Tabellenkalkulation darstellen lassen. In MuPAD \par muss die Funktionalit\'e4t einer Tabellenkalkulation simuliert werden. In der Prozedur wird diese \par M\'f6glichkeit exemplarisch dargestellt. \plain\f5\fs24\cf2 \par \par F\'fcr die tabellarische Darstellung der Ergebnisse bietet sich die Nutzung von Matrizen als \par Speichermedium an, da hier sowohl eine tabellarische Ausgabe als auch eine Wiederver- \par wendung der Daten f\'fcr andere Zwecke m\'f6glich ist. \par \par Grundkenntnisse \'fcber Matrizen sind insofern vorteilhaft, jedoch nicht notwendig, da keinerlei \par Rechnungen mit den Matrizen verbunden sind. Ist der Begriff der Matrix nicht gel\'e4ufig, kann \par man Matrizen als die Realisation von Tabellen in MuPAD ansehen. Aus diesem Grund beginnt \par das Notebook zun\'e4chst mit einer Kurzeinf\'fchrung in den Umgang mit Matrizen, soweit wie dies \par f\'fcr die Zwecke des Notebooks sinnvoll ist. Wenn man sich nur f\'fcr die Ergebnisse des \par Algorithmus interessiert, kann diese Kurzeinf\'fchrung \'fcbersprungen werden. \par \par Grunds\'e4tzlich stellt sich die Frage nach dem Sinn des Einsatzes eines CAS f\'fcr ein konkretes \par Problem. Durch die Arbeit mit diesem Notebook k\'f6nnen beispielsweise folgende Aspekte \par ber\'fccksichtigt werden: \par \par \pard\li1000\ri4\plain\f5\fs24\cf2 - Es kann mit verschiedenen Grundannahmen experimentiert werden. \par \plain\f5\fs24\cf4 _\plain\f5\fs24\cf2 Auf diese Weise kann ein h\'f6herer Realit\'e4tsbezug erreicht werden. \par \plain\f5\fs24\cf4 _\plain\f5\fs24\cf2 Im \'fcbrigen ist das Notebook so auch f\'fcr private Zwecke nutzbar. \par \par - Die Prozedur \plain\f5\fs24\cf1 Tilgungsplan\plain\f5\fs24\cf2 ist um eine Vielzahl von Optionen er- \par \plain\f5\fs24\cf4 _\plain\f5\fs24\cf2 weiterbar. Insofern stellt das Notebook ein Bindeglied zwischen \par \plain\f5\fs24\cf4 _\plain\f5\fs24\cf2 einer anwendungsorientierten Mathematik und Aspekten der \par \plain\f5\fs24\cf4 _\plain\f5\fs24\cf2 Informationsverarbeitung dar. \par \par - Die Prozedur \plain\f5\fs24\cf1 Prototyp\plain\f5\fs24\cf2 kann aus dem Notebook extrahiert werden \par \plain\f5\fs24\cf4 _\plain\f5\fs24\cf2 und ebenfalls als Grundlage von Aufgaben zur Erweiterungen der \par \plain\f5\fs24\cf4 _\plain\f5\fs24\cf2 Funktionalit\'e4t dienen. \par \par - Da in der derzeitigen MuPAD Version keine vollg\'fcltige Tabellen- \par \plain\f5\fs24\cf4 _\plain\f5\fs24\cf2 kalkulation bereitgestellt wird, wird exemplarisch gezeigt, wie \par \plain\f5\fs24\cf4 _\plain\f5\fs24\cf2 Tabellen in MuPAD durch Matrizen simuliert werden k\'f6nnen. \par \pard\ri4\plain\f5\fs24\cf2 \par \plain\f5\fs24\cf2\b \par \plain\f8\fs28\cf0\b\ul Ben\'f6tigte Grundlagen zu Matrizen \par \plain\f8\fs28\cf0 \par Eine Matrix ist ein rechteckiges Schema aus Zeilen und Spalten. In MuPAD wird eine \par Matrix aus zwei Spalten und drei Zeilen wie folgt definiert: \par \plain\f8\fs22\cf0 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}A:=matrix(2,3) \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0 Die Elemente der Matrix sind zun\'e4chst mit Nullen vorinitalisiert und k\'f6nnen wie folgt \par \'fcberschrieben werden: \par \plain\f8\fs22\cf0 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}A:=matrix([[1,2,3],[4,5,6]]) \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0 Nat\'fcrlich kann die Matrix A auch direkt wie vorstehend definiert werden. F\'fcr die Zwecke \par dieses Notebooks ist es erforderlich, Elemente einzeln ein- und auszulesen. Im folgenden \par wird das zweite Element der ersten Zeile und zweiten Spalte ausgelesen: \par \plain\f8\fs22\cf0 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}A[1,2] \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0 Analog lassen sich das Elemente \'fcberschreiben. Der Doppelpunkt verhindert die Ausgabe. \plain\f8\fs22\cf0 \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs22\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}A[1,2]:=neu: \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs22\cf1 A[2,3]:=alt: \par \plain\f3\fs22\cf1 \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0 Nun wird die \'fcberschriebene Matrix ausgegeben. Offensichtlich ist auch Text darstellbar. \par \plain\f8\fs22\cf0 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}A \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0 Teilmatrizen k\'f6nnen wie folgt ausgelesen werden. Im konkreten Fall werden die ersten zwei \par Zeilen und die zweite und dritte Spalte ausgelesen. \par \plain\f8\fs22\cf0 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}A[1..2,2..3] \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0\b\ul Der benutzte Algorithmus \par \plain\f8\fs22\cf0 \par \plain\f7\fs28\cf0 Im folgenden wird von folgenden Voraussetzungen ausgegangen: \par - Zinsen und Tildung werden j\'e4hrlich nachsch\'fcssig (zum Jahresende) erhoben. \par - Die Annuit\'e4t ist bis auf die Schlussrate j\'e4hrlich gleichbleibend. \par \par Es werden folgende Begriffe und Variablennamen benutzt: \par Zi: Zinsen am Ende des Jahres i \par Ti: Tilgung am Ende des Jahres i \par A: Annuit\'e4t, es ist A = Zi + Ti \par K: Darlehensbetrag \par p: Prozentzahl \par q: Aufzinsfaktor: q=(1+p/100) \par n: Gesamtlaufzeit in Jahren \par RSi: Restschuld nach i, Anfang des (i+1)ten Jahres \par \par F\'fcr ein Darlehen, das in n Jahren vollst\'e4ndig zur\'fcckgezahlt wird, l\'e4sst sich der Kreditbetrag \par sich wie folgt berechnen: \par \pard\li3000\ri4\plain\f5\fs28\cf0 {\pict\wmetafile8\picw2760\pich1415\picscalex99\picscaley99\picwgoal1577\pichgoal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F\'fcr die Annuit\'e4t gilt in diesem \par Fall: \par \pard\li3000\ri4\plain\f8\fs28\cf0 {\pict\wmetafile8\picw3282\pich1141\picscalex99\picscaley99\picwgoal1875\pichgoal650 0100090000036C0B00000400AC0000000000050000000B0200000000050000000C027504D20C03 0000001E00050000000C027C04EC0C050000000B0200000000030000001E00050000000C028304 F50C050000000B0200000000050000000B0200000000030000001E00050000000C028A040F0D05 0000000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000030000001E0005000000 0C029104180D050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000050000 000B0200000000030000001E00050000000C029804330D050000000B0200000000050000000B02 00000000050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000030000001E 00050000000C029E043C0D050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B020000 0000050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000030000001E0005 0000000C02A504580D050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000 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}\plain\f8\fs28\cf0 \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0 Anschaulich: Die Restschuld ist die Differenz des Kreditbetrages und der Summe aller \par bisherigen Tilgungsbetr\'e4ge. \par \plain\f8\fs28\cf0\b\ul \par Definition der Prozedur Prototyp \par \plain\f8\fs22\cf0 \par \plain\f8\fs28\cf0 Die Prozedur \plain\f7\fs28\cf1 Prototyp\plain\f8\fs28\cf0 wird definiert. In dieser Prozedur werden bzw. wird: \par - die Berechnungen iterativ durchgef\'fchrt, um die Basisfunktionalit\'e4t zu testen. \par - die Daten in die \plain\f8\fs28\cf1 Ausgabe \plain\f8\fs28\cf0 geschrieben. \par - die \plain\f8\fs28\cf1 Ausgabe \plain\f8\fs28\cf0 ausgelesen und die Ergebnisse f\'fcr weitere Berechnungen verwendet. \par \plain\f8\fs22\cf0 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs20\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Prototyp := proc( Kredit, Prozentzahl, Annuitaet ,Laufzeit) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs20\cf1 local k,n, Ausgabe, Anz_Zeilen; \par save Jahre, Restschuld, Zinsen, Tilgung, Gesamtzahlung; \par begin \par n := Laufzeit: // hier noch Anzahl der Iterationen \par k := 2: // Laufvariable initialisiert \par Ausgabe:= matrix(Laufzeit+1,5); //Die Matrix wird definiert. \par Ausgabe[1,1]:= Jahre: //Die Kopfzeile wird definiert. \par Ausgabe[1,2]:= Restschuld: \par Ausgabe[1,3]:= Zinsen: \par Ausgabe[1,4]:= Tilgung: \par Ausgabe[1,5]:= Gesamtzahlung: \par \par \par Ausgabe[2,1]:= 1: // Die zweite Zeile mit den Startwerten \par Ausgabe[2,2]:= float(Kredit): // wird beschrieben. \par Ausgabe[2,3]:= float(Kredit*Prozentzahl/100): \par Ausgabe[2,4]:= float(Annuitaet-Ausgabe[2,3]): \par Ausgabe[2,5]:= float(Annuitaet): \par \par k:=2: // Durchf\'fchrung der Iterationen \par Anz_Zeilen:=2: \par for k from 2 to n do \par Ausgabe[k+1,1]:= k: \par Ausgabe[k+1,2]:= float(Ausgabe[k,2]-Ausgabe[k,4]): \par Ausgabe[k+1,3]:= float(Ausgabe[k+1,2]*Prozentzahl/100): \par Ausgabe[k+1,4]:= float(Ausgabe[k,5]-Ausgabe[k+1,3]): \par Ausgabe[k+1,4]:= float(Ausgabe[k,5]-Ausgabe[k+1,3]): \par Ausgabe[k+1,5]:= float(Ausgabe[k,5]): \par end_for; \par Ausgabe; \par end_proc:\plain\f3\fs22\cf1 \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0\b\ul \par Test der Prozedur Prototyp \par \plain\f8\fs28\cf0 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Prototyp(1000,5,400,5) \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0 Durch Vergleich mit manuellen Berechnungen stellt man fest, das die Basisfunktionalit\'e4t \par korrekt implementiert ist. Offensichtlich ist der Kredit am Ende des dritten Jahres getilgt. \par Allerdings wird der Tilgungsplan weitergef\'fchrt, auch wenn der Kredit getilgt ist. Dar\'fcber \par hinaus wird im dritten Jahr mehr getilgt, als die Restschuld betr\'e4gt. Die Funktionalit\'e4t der \par Prozedur muss daher erweitert werden. \par \plain\f8\fs28\cf0\b\ul \par Pflichtenheft f\'fcr die erweiterte Prozedur Tilgungsplan. \plain\f8\fs28\cf0 \par \par Anforderungen an die Prozedur Tilgungsplan aufgrund der Testergebnisse: \par \par 1) Es sollen bei allen Ergebnissen, die W\'e4hrungen beschreiben, nach M\'f6glichkeit zwei \par Nachkommastellen ausgegeben werden. \par 2) Die Prozedur soll eine Ausgabe des Tilgungsplans bei vorgegebenem Zinssatz, \par vorgegebener Kreditsumme erm\'f6glichen. Es sollen dabei zwei Variaten ber\'fccksichtigt \par werden: \par a) vorgegebene Gesamtlaufzeit \par b) vorgegebene prozentuale Anfangstilgung \par 2) Die Ausgabe des Tilgungplans soll abgebrochen werden, wenn der Kredit getilgt ist. \par 3) Der Tilgungsplan soll die Zahlungen des letzten Jahres korrekt verarbeiten. \par 4) Der Tilgungsplan soll vorzeitig abgebrochen werden k\'f6nnen. \par 5) Es sollen nach vollst\'e4ndiger R\'fcckzahlung des Darlehens ausgegeben werden: \par Gesamtzahlung und Gesamtzinsen. \par 6) Es sollen bei vorzeitigem Abbruch des Tilgungsplans ausgegeben werden: Die bisherige \par Gesamtzahlung, Gesamttilgung und Gesamtzinsen sowie die Restschuld. \par 7) Die Prozedur soll grobe Fehleingaben abfangen. \par \plain\f8\fs24\cf2 \par \plain\f8\fs28\cf0\b\ul Definition von Konstanten f\'fcr die Programmsteuerung der Prozeduren \par \plain\f8\fs22\cf0 \par \plain\f8\fs28\cf0 Nach diesen einleitenden Bemerkungen werden im folgenden einige Konstanten f\'fcr den \par weiteren Gebrauch initialisiert. Diese Daten werden im Verlauf des Notebooks jeweils \par f\'fcr die Zwecke der jeweiligen Probleme \'fcberschrieben. Es ist daher bei \'c4nderungen \par in Prozeduraufrufen jeweils erforderlich, alle Eingaben des Notebooks zu evaluieren. \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Kredit := 1000: // Darlehensbetrag \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs22\cf1 Prozentzahl := 10: \par Annuitaet := 263.70: \par Laufzeit := 35: \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0\b\ul \par Die Implementierung der Teilfunktion Rundung \par \plain\f8\fs28\cf0 \par W\'e4hrungen erfordern die Ausgabe der Ergebnisse mit zwei Nachkommastellen. \par Da MuPAD keine Funktion f\'fcr eine feste Anzahl von Nachkommastellen besitzt, muss \par man sich behelfen. Man multipliziert die gew\'fcnschte Zahl mit 10 hoch Anzahl der \par Nachkommastellen, rundet und dividiert dann wieder durch 10 hoch Anzahl der \par Nachkommastellen. Dies wird durch die Funktion\plain\f8\fs28\cf1 runde\plain\f8\fs28\cf0 geleistet. Diese wird nun \par definiert und ihre Funktionalit\'e4t an einem Beispiel demonstriert. \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}runde:= (x,Stellen) -> float(round(float(x)*10^Stellen)*10^(-Stellen)): \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0 \par Nun wird auf zwei Nachkommastellen gerundet. \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}runde(10000/3,2) \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0 Ein neuer Versuch mit der Zahl 1,5 \par \plain\f8\fs22\cf0 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}runde(3/2,2) \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0 Offensichtlich ist es m\'f6glich auf zwei Nachkommastellen genau zu runden. Treten \par jedoch als letzte Ziffern Nullen hinter dem Komma auf\plain\f8\fs22\cf0 , \plain\f8\fs28\cf0 werden diese nicht mit aus- \par gegeben. Bis MuPAD in einer neueren Version die entsprechende Funktionalit\'e4t f\'fcr \par die Ausgabe von einer fest vorgegebenen Anzahl von Nachkommastellen zur Ver- \par f\'fcgung stellt, muss man sich mit diesem Kompromiss behelfen. \par \par Eine Rundung in der Prozedur Tilgungsplan auf zwei Weisen implementierbar: \par 1) Man rundet bei jedem Iterationsschritt mit der Funktion \plain\f8\fs28\cf1 runde\plain\f8\fs28\cf0 . \par 2) Man f\'fchrt die Iterationen ohne Rundung durch und rundet nur die Ausgaben. \par \par In diesem Notebook wird entsprechend Version 1 gerundet, da die Zahlungen des \par Kunden j\'e4hrlich durchgef\'fchrt werden. Diese Rundungen sind plausibel, entsprechen \par jedoch unter Umst\'e4nden nicht in allen Details den rechtlichen Vorschriften. F\'fcr \par Informationen \'fcber die rechtlichen Details muss auf die Vorschriften der Banken \par verwiesen werden. \par \par \plain\f8\fs28\cf0\b\ul Definition der Prozeduren\plain\f8\fs28\cf0 \par Die Prozedur \plain\f8\fs28\cf1 Tilgungsplan\plain\f8\fs28\cf0 und die Hilfsprozeduren \plain\f8\fs28\cf1 Annuitaet1\plain\f8\fs28\cf2 ,\plain\f8\fs28\cf0 \plain\f8\fs28\cf1 Annuitaet2\plain\f8\fs28\cf2 ,\plain\f8\fs28\cf0 \par \plain\f8\fs28\cf1 Gesamtdauer \plain\f8\fs28\cf0 und \plain\f8\fs28\cf1 Restschulden\plain\f8\fs28\cf0 werden definiert. \par \plain\f8\fs28\cf0\ul \par Definition der Prozedur Annuitaet1\plain\f8\fs28\cf0 \par \par In der Prozedur \plain\f8\fs28\cf1 Annuitaet1\plain\f8\fs28\cf0 wird die Annuit\'e4t bei vorgegebener Darlehenssumme, \par vorgegebener Laufzeit und vorgegebenem Zinssatz entsprechend der oben ange- \par gebenen Formel berechnet. \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs20\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Annuitaet1 := proc( Kredit, Laufzeit, Prozentzahl) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs20\cf1 local n,q,p,K,Annuitaet; \par begin \par n:= Laufzeit: \par p:= Prozentzahl: \par q:= 1+p/100: \par K:= Kredit: \par Annuitaet:= K*q^n*(q-1)/(q^n-1): \par runde(Annuitaet,2); \par end_proc: \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0 \par Test der Prozedur: Das Ergebnis entspricht dem Ergebnis einer manuellen Be- \par rechnung und ist insofern richtig. \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Annuitaet1(1000,3,5) \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0\ul Definition der Prozedur Annuitaet2\plain\f8\fs28\cf0 \par \par In der Prozedur \plain\f8\fs28\cf1 Annuitaet2\plain\f8\fs28\cf0 wird die Annuit\'e4t bei vorgegebener Anfangstilgung \par in Prozent der Darlehenssumme, vorgegebenem Zinssatz und vorgegebener Dar- \par lehenssumme berechnet. \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs20\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Annuitaet2 := proc( Kredit, Anfangstilgung, Prozentzahl) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs20\cf1 local T1,Z1,p,K,Annuitaet; \par begin \par K:= Kredit: \par p:= Prozentzahl: \par T1:= Anfangstilgung*K/100: \par Z1:= p*K/100: \par Annuitaet:= Z1+T1: \par Annuitaet:=runde(Annuitaet,2); \par end_proc: \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0 \par Test der Prozedur: Das Ergebnis ist richtig. \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}runde(Annuitaet2(1000,1,5),2) \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0\ul Definition der Prozedur Gesamtdauer\plain\f8\fs28\cf2\ul \par \plain\f8\fs28\cf0\ul \par \plain\f8\fs28\cf0 Die Prozedur \plain\f8\fs28\cf1 Gesamtdauer\plain\f8\fs28\cf0 berechnet die maximale Laufzeit des Kredites bei vor- \par gegebener Darlehenssumme, Annuitaet und Zinssatz. Da im letzten Jahr unter Um- \par st\'e4nden noch eine Schlussrate f\'e4llig ist, die niedriger als die Annuit\'e4t ist, ergeben \par sich bei der Berechnung der Gesamtlaufzeit in der Regel keine nat\'fcrlichen Zahlen. \par Um die Schlussrate korrekt ber\'fccksichtigen zu k\'f6nnen, muss der Wert der Ge- \par samtlaufzeit auf die n\'e4chsth\'f6here nat\'fcrliche Zahl aufgerundet werden. \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Gesamtdauer := proc( Kredit, Annuitaet, Prozentzahl) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs22\cf1 local p,q,A,K,T1; \par begin \par K:= Kredit: \par p:= Prozentzahl: \par A:= Annuitaet: \par q:= 1+p/100: \par Gesamtlaufzeit:= numeric::solve(K*q^n*(q-1)/(q^n-1)=A, n): \par Gesamtlaufzeit:= ceil(Gesamtlaufzeit): \par // n\'e4chsth\'f6here nat\'fcrliche Zahl wegen der Schlussrate \par Gesamtlaufzeit:= Gesamtlaufzeit[1]; \par // Auslesen aus der L\'f6sungsmenge \par end_proc: \par \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0 Die Gesamtdauer kann wie folgt ausgelesen werden. Eine Rundung ist nicht erforderlich, \par da das Ergebnis f\'fcr die Zwecke des Tilgungsplans auf den n\'e4chsth\'f6here nat\'fcrliche Zahl \par gerundet wurde. \par \plain\f8\fs22\cf0 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Gesamtdauer(1000,100,5) \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0\ul Definition der Prozedur Restschulden\plain\f8\fs28\cf2\ul \par \plain\f8\fs28\cf0\ul \par \plain\f8\fs28\cf0 Die Prozedur \plain\f8\fs28\cf1 Restschulden\plain\f8\fs28\cf0 berechnet entsprechend der oben angegebenen Formel die \par Restschuld nach einer vorgegebenen Anzahl von Jahren. Wenn die gew\'fcnschte Laufzeit \par gr\'f6\'dfer als die tats\'e4chliche Laufzeit ist, wird eine Fehlermeldung ausgegeben. Die \par Prozedur wurde in erster Linie f\'fcr Testzwecke implementiert und kann zur Ermittlung von \par Rundungsfehlern herangezogen werden. \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Restschulden := proc( Kredit, Annuitaet, Prozentzahl, Laufzeit) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs22\cf1 local p,q,n,nmax,A,K,T1; \par begin \par K:= Kredit: //Umkopieren von Variablen \par p:= Prozentzahl: //wegen leichterer \par A:= Annuitaet: //Vergleichbarkeit mit den \par q:= 1+p/100: //Formeln \par T1:= A-K*p/100: \par n:= Laufzeit: //eingegebene Laufzeit \par \par nmax:= Gesamtdauer(K,A,p): //theoretische Gesamtlaufzeit \par if nmax <=n //Plausibilit\'e4tscheck \par then \par print(Unquoted,"Die eingegebene Laufzeit ist l\'e4nger oder so gro\'df"); \par print(Unquoted,"wie die theoretische Gesamtlaufzeit"); \par return(); \par end_if: \par // Ausgabe \par Restschuld:=runde(K-T1*(q^n-1)/(q-1),2): \par print(Unquoted,"nach ".expr2text(Laufzeit)."Jahren"); \par print(Unquoted,"bzw. zu Beginn des ".expr2text(Laufzeit+1)."ten Jahres"); \par print(Unquoted,"betraegt die Restschuld ".expr2text(Restschuld)." \'80"); \par end_proc: \par \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0\ul \par Definition der Prozedur Tilgungsplan\plain\f8\fs28\cf2\ul \par \plain\f8\fs22\cf0\ul \par \plain\f8\fs28\cf0 F\'fcr die Prozedur \plain\f8\fs28\cf1 Tilgungsplan\plain\f8\fs28\cf0 wurde die Prozedur \plain\f8\fs28\cf1 Prototyp\plain\f8\fs28\cf0 um die im Pflichtenheft \par angegebenen Aufgaben erweitert. \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Tilgungsplan := proc( Kredit, Prozentzahl, Annuitaet ,Laufzeit) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs22\cf1 local k, n, p, K, Ausgabe, vorzeitig, Sonderfall; \par save Jahre, Restschuld, Zinsen, Tilgung, Gesamtzahlung; \par begin \par p:= Prozentzahl: //Umkopieren wegen leichterer \par K:= Kredit: //Vergleichbarkeit mit Formeln \par Gesamtzeit:= Gesamtdauer(Kredit,Annuitaet,Prozentzahl): \par Sonderfall:= FALSE: \par vorzeitig:= FALSE: \par if Gesamtzeit > Laufzeit then vorzeitig := TRUE: end_if: \par \par // Sonderfall: Die gew\'fcnschte Laufzeit ist um ein Jahr geringer \par // als die theoretische Gesamtlaufzeit. \par \par if Gesamtlaufzeit = Laufzeit+1 then \par Laufzeit:= Laufzeit: \par Sonderfall:= TRUE: \par end_if: \par \par n := min(Laufzeit,Gesamtzeit): \par k := 2: // Anzahl der Iterationen Laufvariable initialisiert \par \par if Prozentzahl <= 0 or Prozentzahl > 20 then // Ausschluss unerlaubter Prozente \par print(Unquoted,"Es sind Prozents\'e4tze zwischen 0 und 20 % erlaubt. "); \par print(Unquoted,"\'c4ndern Sie den Prozentsatz."); \par return(): \par end_if: \par \par if Kredit <= 0 then // Ausschluss unsinniger Kreditbetr\'e4ge \par print(Unquoted,"Sie haben keinen Kredit aufgenommen. "); \par print(Unquoted,"Geben Sie einen Kreditbetrag ein."); \par return(): \par end_if: \par // Man sollte vor Rentenbeginn abgezahlt haben. \par if n > 45 // Bei 1 % Anfangstilgung etwas \'fcber 30 Jahre \par then \par print(Unquoted,"Sie sollten eine gr\'f6\'dfere Annuitaet w\'e4hlen. "); \par print(Unquoted,"Die Kreditlaufzeit kann maximal 45 Jahre betragen."); \par return(): \par end_if: \par \par if Annuitaet > Kredit // Kreditbedingungen so nicht sinnvoll \par then \par print(Unquoted,"Die Annuitaet ist gr\'f6\'dfer als der Darlehensbetrag. "); \par print(Unquoted,"Sie sollten Ihre Kreditbedingungen \'fcberpr\'fcfen."); \par return(): \par end_if: \par \par Ausgabe:= matrix(n+2,5); //Die Matrix wird definiert. \par Ausgabe[1,1]:= Jahre: //Die Kopfzeile wird definiert. \par Ausgabe[1,2]:= Restschuld: \par Ausgabe[1,3]:= Zinsen: \par Ausgabe[1,4]:= Tilgung: \par Ausgabe[1,5]:= Gesamtrate: \par \par // Die zweite Zeile mit den Startwerten wird beschrieben. \par \par Ausgabe[2,1]:= 1: \par Ausgabe[2,2]:= runde(Kredit,2): \par Ausgabe[2,3]:= runde(Kredit*Prozentzahl/100,2): \par Ausgabe[2,4]:= runde(Annuitaet-Ausgabe[2,3],2): \par Ausgabe[2,5]:= runde(Annuitaet,2): \par \par Anz_Zeilen:= 2: \par for k from 2 to n+1 do \par if k < n+1 \par then \par Ausgabe[k+1,1]:= k: \par Ausgabe[k+1,2]:= runde(Ausgabe[k,2]-Ausgabe[k,4],2): \par Ausgabe[k+1,3]:= runde(Ausgabe[k+1,2]*Prozentzahl/100,2): \par Ausgabe[k+1,4]:= runde(Ausgabe[k,5]-Ausgabe[k+1,3],2): \par Ausgabe[k+1,5]:= runde(Ausgabe[k,5],2): \par else \par Ausgabe[k+1,1]:= k: \par Ausgabe[k+1,2]:= runde(Ausgabe[k,2]-Ausgabe[k,4],2): \par if Ausgabe[k+1,2] < 0 then \par Ausgabe[k+1,2]:=0: \par end_if: \par end_if: \par \par // Korrektur der letzen Zeile bei zu hoher Annuitaet \par if Ausgabe[k,5]-Ausgabe[k+1,2]*Prozentzahl/100 > Ausgabe[k+1,2] then \par Ausgabe[k+1,3]:=runde(Ausgabe[k+1,2]*Prozentzahl/100,2): \par Ausgabe[k+1,4]:=runde(Ausgabe[k+1,2],2): \par Ausgabe[k+1,5]:=runde(Ausgabe[k+1,2]+Ausgabe[k+1,3],2): \par end_if: \par end_for; \par \par // Sonderfallbehandlung f\'fcr die letzte Zeile: Ohne die Korrektur \par // werden in der letzten Zeile unn\'f6tige Tilgungen und Zinsen \par // ausgegeben. \par if Sonderfall = TRUE then \par Ausgabe[n+1,2]:= runde(Ausgabe[n,2]-Ausgabe[n,4],2): \par Ausgabe[n+2,3]:= 0: \par Ausgabe[n+2,4]:= 0: \par Ausgabe[n+2,5]:= 0: \par end_if: \par \par // Berechnung der Gesamtsummen \par Gesamtzins:= Ausgabe[2,3]: \par Gesamttilgung:= Ausgabe[2,4]: \par Gesamtzahlung:= Ausgabe[2,5]: \par \par for k from 3 to n+1 do \par Gesamtzins:= runde(Gesamtzins+Ausgabe[k,3],2): \par Gesamttilgung:= runde(Gesamttilgung+Ausgabe[k,4],2): \par Gesamtzahlung:= runde(Gesamtzahlung+Ausgabe[k,5],2): \par end_for; \par \par //Ausgabe der Gesamtsummen \par print(Unquoted,"Die Kreditsumme betraegt: ".expr2text(K)." \'80"); \par print(Unquoted,"Der Zinssatz betraegt: ".expr2text(p)."%"); \par print(Unquoted,"Die Gesamtzinsen betragen: ".expr2text(Gesamtzins)." \'80"); \par print(Unquoted,"Die Gesamttilgung betr\'e4gt: ".expr2text(Gesamttilgung)." \'80"); \par print(Unquoted,"Die Gesamtzahlung betr\'e4gt: ".expr2text(Gesamtzahlung)." \'80"); \par print(Unquoted,""); \par print(Unquoted,"Die Laufzeit betr\'e4gt: ".expr2text(n)." Jahre"); \par print(Unquoted,""); \par if vorzeitig = TRUE then \par print(Unquoted,"bei vorzeitigem Abbruch"); \par else \par print(Unquoted,"bei vollst\'e4ndiger R\'fcckzahlung"); \par end_if: \par print(Unquoted,"Nun folgt der Tilgungsplan"); \par print(Unquoted,""); \par Ausgabe; \par end_proc: \par \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0\b\ul Test der Prozeduren \plain\f8\fs28\cf0 \par Nun werden einige Tests der Prozeduren durchgef\'fchrt. F\'fcr Testzwecke werden die \par Laufzeiten so kurz gew\'e4hlt, dass Kontrollen durch manuelle Rechnungen m\'f6glich sind. \par Zu Beginn werden einige Konstanten definiert. \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Kredit := 1000: // Darlehensbetrag \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs22\cf1 Prozentzahl := 5: \par Laufzeit := 40: \par \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0 1. Fall: Der Kredit wird vollst\'e4ndig zur\'fcckgezahlt. \par \par F\'fcr die Laufzeit (vierter Parameter) ist in der Prozedur \plain\f8\fs28\cf1 Tilgungsplan\plain\f8\fs28\cf0 ein Wert auszu- \par geben, der gr\'f6\'dfer ist als die tats\'e4chliche Laufzeit des Kredites ist. Es bietet sich hier \par der hohe Wert 40 an. Zun\'e4chst wird die Annuitaet bestimmt. Bei einer Laufzeit von \par 3 Jahren soll der Kredit vollst\'e4ndig zur\'fcckgezahlt werden. Dazu wird mit der Prozedur \par \plain\f8\fs28\cf1 Annuitaet1\plain\f8\fs28\cf0 die Annuitaet berechnet und dann in der Prozedur \plain\f8\fs28\cf1 Tilgungsplan\plain\f8\fs28\cf0 benutzt. \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Annuitaet:= runde(Annuitaet1( Kredit, 3, Prozentzahl),2) \par {\pntext\f1\'b7\tab}Tilgungsplan (Kredit,Prozentzahl, Annuitaet,40) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs22\cf1 \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0 Es wird ein kurzer Test der Prozedur Restschuld durchgef\'fchrt. \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Restschulden(Kredit,Annuitaet,Prozentzahl,2) \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0 Manuelle Rechnungen best\'e4tigen die Richtigkeit der Ergebnisse. Da in der letzten Zeile \par Nullen stehen, ist erkennbar, dass der Kredit zur\'fcckgezahlt ist. Die Richtigkeit der Er- \par gebnisse wird auch durch die Konsistenz der Ergebnisse der Prozeduren \plain\f8\fs28\cf1 Tilgungsplan\plain\f8\fs28\cf0 \par und \plain\f8\fs28\cf1 Restschuld \plain\f8\fs28\cf0 sichergestellt, da beide unabh\'e4ngig voneinander programmiert sind. \par \plain\f8\fs22\cf0 \par \plain\f8\fs28\cf0 2. Fall: Die eingegebene Laufzeit ist k\'fcrzer als die theoretische Gesamtlaufzeit. \par \plain\f8\fs22\cf0 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Tilgungsplan (Kredit,Prozentzahl, Annuitaet,1) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs22\cf1 \par \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0 Auch hier best\'e4tigen manuelle Rechnungen bzw. ein Vergleich mit den Ergebnissen des \par ersten Testfalls die Ergebnisse des Tilgungsplans. \par \plain\f8\fs22\cf0 \par \plain\f8\fs28\cf0 3. Fall: Die eingegebene Laufzeit entspricht der theoretischen Gesamtlaufzeit. \par \plain\f8\fs22\cf0 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Tilgungsplan (Kredit,Prozentzahl, Annuitaet,3) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs22\cf1 \par \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0 Auch hier best\'e4tigen manuelle Rechnungen die Ergebnisse. \par \par 4. Fall: Die vorgegebene Laufzeit ist um ein Jahr geringer als die theoretische Gesamt- \par laufzeit. Bei der derzeitigen Implementierung war f\'fcr die Ausgabe in der letzten Zeile \par des Tilgungsplans eine Sonderfallbehandlung n\'f6tig, die in der Prozedur Tilgungsplan \par entsprechend gekennzeichnet ist. \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Tilgungsplan (Kredit,Prozentzahl, Annuitaet,2) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs22\cf1 \par \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0\b\ul Anwendungen der Prozeduren auf konkrete Probleme \par \plain\f8\fs28\cf0 F\'fcr die folgenden Anwendungen werden einige Konstanten definiert, die im weiteren \par Verlauf benutzt und teilweise \'fcberschrieben werden. \plain\f8\fs28\cf0\b\ul \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Kredit := 100000: // Darlehensbetrag \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs22\cf1 Prozentzahl := 5: \par Laufzeit := 39: \par Anfangstilgung := 1: \par \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0\b\ul 1. Problem \par \plain\f8\fs28\cf0 Ein Kredit \'fcber 100 000,00 \'80 soll in 10 Jahren komplett getilgt werden. Die Annuit\'e4t \par wird mit Hilfe der Prozedur \plain\f8\fs28\cf1 Annuit\'e4t1 \plain\f8\fs28\cf0 berechnet. \par \plain\f8\fs28\cf0\b\ul \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Annuitaet:=Annuitaet1(Kredit, 10,Prozentzahl) \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0 Nun wird die Prozedur \plain\f8\fs28\cf1 Tilgungsplan\plain\f8\fs28\cf0 aufgerufen. F\'fcr die Laufzeit wird die maximal \par m\'f6gliche Laufzeit angenommen. Die Prozedur \plain\f8\fs28\cf1 Tilgungsplan\plain\f8\fs28\cf0 berechnet automatisch \par die richtige Laufzeit von 10 Jahren mit Hilfe der Prozedur \plain\f8\fs28\cf1 Laufzeit\plain\f8\fs28\cf0 . \par \plain\f8\fs22\cf0 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Tilgungsplan (Kredit,Prozentzahl, Annuitaet,Laufzeit) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs22\cf1 \par \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0 Offensichtlich ist die gesamte Zinslast einigerma\'dfen niedrig. Die j\'e4hrliche Belastung ist \par allerdings recht hoch. \par \plain\f8\fs22\cf0 \par \plain\f8\fs28\cf0\b\ul 2. Problem \par \plain\f8\fs28\cf0 Ein Kredit \'fcber 100 000,00 \'80 soll bei 1 % Anfangstilgung komplett getilgt werden. Die \par Annuit\'e4t wird mit Hilfe der Prozedur \plain\f8\fs28\cf1 Annuitaet2\plain\f8\fs28\cf2 \plain\f8\fs28\cf0 berechnet. \par \plain\f8\fs28\cf0\b\ul \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Kredit := 100000: // Darlehensbetrag \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs22\cf1 Prozentzahl := 7: \par Laufzeit := 40: \par Anfangstilgung := 1: \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Annuitaet:= Annuitaet2( Kredit, Anfangstilgung, Prozentzahl) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs22\cf1 \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0 Nun wird die Prozedur \plain\f8\fs28\cf1 Tilgungsplan\plain\f8\fs28\cf0 aufgerufen. F\'fcr die Laufzeit wird die maximal \par m\'f6gliche Laufzeit angenommen. Die Prozedur \plain\f8\fs28\cf1 Tilgungsplan\plain\f8\fs28\cf0 berechnet automatisch \par die richtige Laufzeit von 10 Jahren mit Hilfe der Prozedur \plain\f8\fs28\cf1 Laufzeit\plain\f8\fs28\cf0 . \par \plain\f8\fs22\cf0 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Tilgungsplan (Kredit,Prozentzahl, Annuitaet,Laufzeit) \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0 Zum Vergleich wird die Restschuld nach 30 Jahren bzw. zu Beginn des 31. Jahres \par berechnet.\plain\f8\fs22\cf0 \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Restschulden(Kredit,Annuitaet,Prozentzahl,30) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs22\cf1 \par \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0 Die Rundungsdifferenz bei der Restschuld nach 30 Jahren betr\'e4gt hier 0,07 \'80 und ist \par im Vergleich zur Gesamtsumme gering, jedoch m\'f6glicherweise aus juristischen Gr\'fcnden \par relevant. \plain\f8\fs28\cf0\b\ul \par \par 3. Problem \par \plain\f8\fs28\cf0 Ein Kredit \'fcber 100 000,00 \'80 soll bei 2 % Anfangstilgung komplett getilgt werden. Die \par Annuit\'e4t wird mit Hilfe der Prozedur \plain\f8\fs28\cf1 Annuitaet2\plain\f8\fs28\cf2 \plain\f8\fs28\cf0 berechnet. Die Ausgabe kann durch \par einen Doppelpunkt unterdr\'fcckt werden. \plain\f8\fs28\cf0\b\ul \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Kredit := 100000: // Darlehensbetrag \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs22\cf1 Prozentzahl := 7: \par Laufzeit := 39: \par Anfangstilgung := 2: \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Annuitaet:= Annuitaet2( Kredit, Anfangstilgung, Prozentzahl) \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0 Nun wird die Prozedur \plain\f8\fs28\cf1 Tilgungsplan\plain\f8\fs28\cf0 aufgerufen. F\'fcr die Laufzeit wird die maximal \par m\'f6gliche Laufzeit angenommen. Die Prozedur \plain\f8\fs28\cf1 Tilgungsplan\plain\f8\fs28\cf0 berechnet automatisch \par die richtige Laufzeit von 10 Jahren mit Hilfe der Prozedur \plain\f8\fs28\cf1 Laufzeit\plain\f8\fs28\cf0 . \par \plain\f8\fs22\cf0 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Tilgungsplan(Kredit, Prozentzahl, Annuitaet, Laufzeit) \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0\b\ul 4. Problem \par \plain\f8\fs28\cf0 Ein Kredit \'fcber 100 000,00 \'80 soll bei 1 % Anfangstilgung komplett getilgt werden. Die \par Annuit\'e4t wird mit Hilfe der Prozedur \plain\f8\fs28\cf1 Annuitaet2\plain\f8\fs28\cf2 \plain\f8\fs28\cf0 berechnet. Die Ausgabe kann durch \par einen Doppelpunkt unterdr\'fcckt werden. Der Zinssatz ist im Vergleich zu oben um 2 % \par erh\'f6ht. \plain\f8\fs28\cf0\b\ul \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Kredit := 100000: // Darlehensbetrag \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs22\cf1 Prozentzahl := 9: \par Laufzeit := 39: \par Anfangstilgung := 1: \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Annuitaet:= Annuitaet2( Kredit, Anfangstilgung, Prozentzahl) \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0 Nun wird die Prozedur \plain\f8\fs28\cf1 Tilgungsplan\plain\f8\fs28\cf0 aufgerufen. F\'fcr die Laufzeit wird die maximal \par m\'f6gliche Laufzeit angenommen. Die Prozedur \plain\f8\fs28\cf1 Tilgungsplan\plain\f8\fs28\cf0 berechnet automatisch \par die richtige Laufzeit von 10 Jahren mit Hilfe der Prozedur \plain\f8\fs28\cf1 Laufzeit\plain\f8\fs28\cf0 . \par \plain\f8\fs22\cf0 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Tilgungsplan (Kredit,Prozentzahl, Annuitaet,Laufzeit) \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0 Offensichtlich verk\'fcrzt sich die Gesamtlaufzeit im Vergleich im Vergleich zu Fall 2 bei \par h\'f6herer Annuit\'e4t und h\'f6herem Gesamtzins. \par \plain\f8\fs22\cf0 \par \plain\f8\fs28\cf0\b\ul 5. Problem \par \plain\f8\fs28\cf0 Ein Kredit \'fcber 100 000,00 \'80 5 Jahre lang bei 1 % Anfangstilgung und einem Zinssatz von \par 5 % teilr\'fcckgezahlt werden. Anschlie\'dfend wird der Zinssatz auf 6 % heraufgesetzt und \par der Kredit soll nun in 15 Jahren vollst\'e4ndig getilgt werden. Die R\'fcckzahlung des Kredites \par soll dokumentiert werden. \par \par a) 1. Zeitraum: \par Annuit\'e4t wird mit Hilfe der Prozedur \plain\f8\fs28\cf1 Annuitaet2\plain\f8\fs28\cf2 \plain\f8\fs28\cf0 berechnet. Die Ausgabe kann durch \par einen Doppelpunkt unterdr\'fcckt werden. \plain\f8\fs28\cf0\b\ul \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Kredit := 100000: // Darlehensbetrag \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs22\cf1 Prozentzahl := 5: \par Laufzeit := 39: \par Anfangstilgung := 1: \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Annuitaet:= Annuitaet2( Kredit, Anfangstilgung, Prozentzahl) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs22\cf1 \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0 Nun wird die Prozedur \plain\f8\fs28\cf1 Tilgungsplan \plain\f8\fs28\cf0 aufgerufen. F\'fcr die Laufzeit wird die maximal \par m\'f6gliche Laufzeit angenommen. Die Prozedur \plain\f8\fs28\cf1 Tilgungsplan\plain\f8\fs28\cf0 berechnet automatisch \par die richtige Laufzeit von 10 Jahren mit Hilfe der Prozedur \plain\f8\fs28\cf1 Laufzeit\plain\f8\fs28\cf0 . \par \plain\f8\fs22\cf0 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Tilgungsplan(Kredit,Prozentzahl, Annuitaet,5) \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0 b) 2. Zeitraum \par Die Annuit\'e4t wird wird aus dem obigen Tilgungsplan abgelesen. Alternativ h\'e4tte \par man die Restschuld auch ohne Ausgabe eines Tilgungsplan mit Hilfe der Prozedur\plain\f8\fs28\cf2 \par \plain\f8\fs28\cf1 Restschulden\plain\f8\fs28\cf2 \plain\f8\fs28\cf0 berechnen k\'f6nnen. \par \plain\f8\fs28\cf0\b\ul \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Kredit := 94474.37: // neuer Darlehensbetrag \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs22\cf1 Prozentzahl := 6: \par Laufzeit := 15: \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Annuitaet:= Annuitaet1(Kredit, Laufzeit,Prozentzahl) \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0 Nun wird die Prozedur \plain\f8\fs28\cf2 Tilgungsplan\plain\f8\fs28\cf0 erneut aufgerufen. \par \plain\f8\fs22\cf0 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Tilgungsplan(Kredit,Prozentzahl, Annuitaet,Laufzeit) \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0 Offensichtlich ergibt sich auch hier eine geringe Rundungsdifferenz bezogen auf die \par ganze Laufzeit. Aus diesem Grund gibt die Prozedur \plain\f8\fs28\cf1 Tilgungsplan\plain\f8\fs28\cf0 das mathematisch \par korrekte Ergebnis "vorzeitiger Abbruch" an, obwohl die Rundungsdifferenz aus \par praktischer Sicht belanglos ist. \par \par Bei der derzeitigen Implementierung des Notebooks ist es nicht m\'f6glich, die beiden \par Tilgungspl\'e4ne kompakt als als Einzeltilgungsplan darzustellen. \par Die Betr\'e4ge von Gesamtzinsen und Gesamtzahlung m\'fcssen mit Hilfe der Ergebnisse \par der beiden Durchl\'e4ufe der Prozedur \plain\f8\fs28\cf1 Tilgungsplan\plain\f8\fs28\cf0 manuell berechnet werden. Diese \par Berechnungen werden hier nicht durchgef\'fchrt. \par \par \plain\f8\fs22\cf0 \par \plain\f8\fs28\cf0\b\ul Bewertung der bisherigen Ergebnisse:\plain\f8\fs28\cf0 \par 1) Bei gleichbleibender Anfangstilgung verk\'fcrzt sich die Laufzeit des Kredites, wenn \par der Zinssatz ansteigt. Andererseits wird dabei aber die Gesamtzahlung h\'f6her. \par 2) Bei gleichbleibendem Zinssatz verringern sich sowohl Gesamtlaufzeit als auch \par die Gesamtzahlung erheblich, wenn man die Anfangstilgung von 1 % auf 2 % der \par Kreditsumme vergr\'f6\'dfert oder noch gr\'f6\'dfere Anfangstilgungen w\'e4hlt. \par 3) Die Gesamtzinsen vergr\'f6\'dfern sich mit wachsender Laufzeit und k\'f6nnen bei \par niedrigen Anfangstilgungen erheblich \'fcber dem Kreditbetrag liegen. \par 4) Das Darlehen ist erst zu einem sehr sp\'e4tern Zeitpunkt bis zur H\'e4lfte getilgt. W\'e4hrend \par der ersten Jahre erh\'f6hen sich die Tilgungbetr\'e4ge bei niedrigen Anfangstilgungen nur \par unwesentlich. \plain\f8\fs22\cf0 \par \par \plain\f8\fs28\cf0\b\ul Einige Anregungen zur selbstst\'e4ndigen Weiterarbeit: \plain\f8\fs28\cf0 \par \plain\f8\fs28\cf0\ul \par 1. Teil: Verbesserungen der Prozedur:\plain\f8\fs28\cf0 \par \plain\f7\fs28\cf0 a) Man sollte den Tilgungsplan auf nachsch\'fcssige monatliche (viertelj\'e4hrliche) Tilgung \par und Verzinsung mit monatlicher (viertelj\'e4hrlicher) Ausgabe der Daten umstellen. \par Die Wahl des Zeitraums sollte vom Benutzer in der Prozedursteuerung w\'e4hlbar sein. \par b) Man sollte eine zweite Rundungsvariante implementieren und die Ergebnisse in \par verschiedenen F\'e4llen mit den hier erzielten Ergebnissen vergleichen. Bei Benutzung \par der oben erw\'e4hnten Restschuldformel wird mit maximaler Genauigkeit gerechnet. \par Ein sinnvoller Vergleich ist beispielsweise m\'f6glich, wenn man die Ergebnisse der \par Restschuldberechnung mit der bisherigen Methode und die Ergebnisse, die man mit \par Hilfe der Restschuldformel erzielt, in einer gemeinsamen Tabelle einander \par gegen\'fcberstellt. \par c) Man sollte bei monatlicher (viertelj\'e4hrlicher) Abrechnung die Daten nur noch j\'e4hrlich \par ausgeben. In diesem Fall sollten die monatlich bzw. viertelj\'e4hrlich erhobenen Daten \par zum Jahresende zum Zweck der Ausgabe addiert werden. \par d) \'dcblicherweise bleiben Zinss\'e4tze nur f\'fcr vertraglich festgeschriebene Zeitr\'e4ume konstant. \par Man sollte die Prozedur so \'e4ndern, dass nach einer vorgegebenen Anzahl von Jahren \par ein neuer Zinssatz eingef\'fchrt werden kann. Der Tilgungsplan soll die \'c4nderungen des \par Zinssatzes ber\'fccksichtigen und den Verlauf von der Kreditaufnahme bis zur \par vollst\'e4ndigen Tilgung kompakt in einem Tilgungsplan darstellen. \par e) In einigen Vertr\'e4gen werden Sondertilgungsm\'f6glichkeiten einger\'e4umt. Sehen Sie auch \par in der Prozedur eine Sondertilgungsm\'f6glichkeit bis zu einer vorgegebenen H\'f6he nach \par einer vorgegebenen Laufzeit vor. \par f) Bislang sind alle bisherigen Rechnungen prinzipiell auch ohne EDV-Unterst\'fctzung \par durchf\'fchrbar. Es sollte eine Prozedur zur Effektivzinsberechnung erstellt werden. Zu \par diesem Zweck sollte ein Algorithmus zur Berechnung des Effektivzinssatzes aus der \par Literatur beschafft werden. \par g) Sehen Sie die M\'f6glichkeit f\'fcr ein Danum vor. \par h) Man sollte den Verlauf von Zinsen und Tilgung und Restschuld graphisch darstellen. \par \par \plain\f7\fs28\cf0\ul 2. Teil: Experimente mit der Prozedur \par \plain\f7\fs28\cf0 \par Experimentieren Sie bei selbstgew\'e4hlten Ausgangssituationen die Auswirkungen auf \par den Tilungsplan. \par \par Beispiele: \par a) Wie wirken sich \'c4nderungen des Zinssatzes auf die Laufzeit, die Annuit\'e4t und die \par Gesamtzahlung aus? \par b) Welche durchschnittlichen Laufzeiten ergeben sich bei aktuellen Zinss\'e4tzen bei \par Anfangstilgungen von 1%, 2%, 3% etc. \par c) Vergleichen Sie Auswirkungen von j\'e4hrlichen, monatlichen und viertelj\'e4hrlichen \par Abrechnungszeitr\'e4umen auf Gesamtzahlung, Effektivzinssatz und Laufzeit, nachdem \par Sie die entsprechenden Optionen implementiert haben. \par d) Welche Laufzeit ergibt sich, wenn man einen Kredit mit 1 % Anfangstilgung bei einem \par Zinssatz von 5 % nach einer Laufzeit von 5 Jahren beeendet und dann einen \par Anschlusskredit \'fcber einen Zinssatz von 6 % ebenfalls bei 1 % Anfangstilgung aufnimmt? \plain\f3\fs20\cf0\b \par ________________________________________________________________________________ \par \plain\f5\fs22\cf2\b \par Anmerkungen:\plain\f5\fs22\cf2 \par \plain\f5\fs20\cf2 \par \plain\f5\fs20\cf2\b 1.\plain\f5\fs20\cf2 Weitere Anregungen finden Sie in der Buchreihe \plain\f5\fs20\cf1 Mathematik 1 x anders\plain\f5\fs20\cf2 . In dieser Reihe \par wird eine Vielzahl unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD gel\'f6st. Die \par B\'fccher k\'f6nnen unter \plain\f9\fs20\cf3 www.schule.mupad.de\plain\f5\fs20\cf2 kostenfrei kopiert werden. \par \par \plain\f5\fs20\cf2\b 2.\plain\f5\fs20\cf2 In der Materialsammlung des MuPAD Servers findet sich ein Notebook des Autors zum Newtonverfahren, \par bei dem ebenfalls Matrizen zur Datenausgabe und Datenspeicherung benutzt werden. Sie finden dies \par Notebook beispielsweise, indem Sie in der Volltextsuche nach dem Namen des Autors suchen. \par \par \plain\f5\fs20\cf2\b 3. \plain\f5\fs20\cf2 MuPAD stellt auch Funktion f\'fcr Tabellen und Arrays zur Verf\'fcgung. Informationen \'fcber diese Funktion finden \par sich unter anderem im MuPAD Tutorium oder in der Hilfe zu MuPAD. Die M\'f6glichkeiten der Nutzung \par dieser Funktionen f\'fcr die tabellarische Darstellung eines Tilgungsplans werden hier nicht untersucht. \par \par \plain\f5\fs20\cf2\b 4.\plain\f5\fs20\cf2 Es soll hervorgehoben werden, dass Abweichungen zu von Banken oder anderen Institutionen herausgegebenen \par Tilgungspl\'e4nen m\'f6glich sind. Diese k\'f6nnen unter anderem begr\'fcndet sein durch \par a) andere als j\'e4hrliche Abrechnungszeitr\'e4ume. In diesem Fall sind die Abweichungen unter Umst\'e4nden \par erheblich. \par b) andere Zahlungszeitpunkte (vorsch\'fcssig oder mittelsch\'fcssig statt nachsch\'fcssig) \par c) andere Rundungsverfahren. \par F\'fcr die Ergebnisse der oben dargestellten Prozeduren kann keine Gew\'e4hr \'fcbernommen werden. \par Im Abweichungsfall gelten die von Banken oder anderen Institutionen herausgegebenen Tilgungspl\'e4ne. \par \par \plain\f5\fs20\cf2\b 5\plain\f5\fs20\cf2 . Weitere Anregungen finden Sie in der Unterrichsmaterialsammlung unter \plain\f5\fs20\cf3 schule.mupad.de\plain\f5\fs20\cf2 . In diesen \par Notebooks werden eine Vielzahl unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD Pro gel\'f6st. \plain\f3\fs20\cf0\b \par ________________________________________________________________________________ \par \plain\f8\fs22\cf0 \par \par }