\mnb150ÿ{\rtf1\ansi\deff0\deftab720{\fonttbl{\f0\fswiss MS Sans Serif;}{\f1\froman\fcharset2 Symbol;}{\f2\fswiss\fprq2 System;}{\f3\fmodern\fprq1 Courier New;}{\f4\fswiss\fprq2 Helvetica;}{\f5\fswiss\fprq2 Arial;}}
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\deflang1031\pard\ri4\plain\f3\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par
\par \plain\f3\fs20\cf0 Inhalt....: Polynominterpolation
\par Kategorie.: Handwerkskasten
\par Mathematik: Analysis, Numerik
\par MuPAD.....: 3.0.0
\par Datum.....: 2002-08-14
\par Autoren...: Kai Gehrs
\par Funktionen: interpolate, plotfunc2d, plot, plot::Point2d, PointSize, Color
\par \plain\f3\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par \plain\f5\fs36\cf0\b
\par \plain\f5\fs40\cf0\b Elementare MuPAD-Funktionen:
\par Polynominterpolation\plain\f5\fs24\cf3
\par
\par Ein wichtiger Bereich in der elementaren Analysis und Numerik ist die Interpolation mittels
\par Polynomen. Hier wollen wir lernen, wie wir eine Menge von Punkten mit Hilfe eines Polynoms
\par in MuPAD interpolieren k\'f6nnen.
\par \plain\f5\fs28\cf0
\par \plain\f5\fs28 In MuPAD bietet die Funktion \plain\f5\fs28\cf1 interpolate\plain\f5\fs28\cf0 die M\'f6glichkeit der Polynominterpolation.
\par \plain\f5\fs28
\par Die Funktion \plain\f5\fs28\cf1 interpolate\plain\f5\fs28 erh\'e4lt stets \plain\f5\fs28\cf3 drei Argumente\plain\f5\fs28 :
\par
\par \plain\f5\fs28\cf1 1. Argument:\plain\f5\fs28 Eine \plain\f5\fs28\cf3 Liste der x-Koordinaten der Punkte\plain\f5\fs28 , die interpoliert werden
\par sollen \plain\f5\fs28\cf3 [x_1, x_2, . . . , x_n]\plain\f5\fs28
\par
\par \plain\f5\fs28\cf1 2. Argument:\plain\f5\fs28 Eine \plain\f5\fs28\cf3 Liste der y-Koordinaten der Punkte\plain\f5\fs28 , die interpoliert werden
\par sollen \plain\f5\fs28\cf3 [y_1,y_2, . . . , y_n]
\par \plain\f5\fs28
\par \plain\f5\fs28\cf1 3. Argument:\plain\f5\fs28 Die \plain\f5\fs28\cf3 Variable\plain\f5\fs28 , \plain\f5\fs28\cf3 in der das Interpolationspolynom gebildet werden
\par soll\plain\f5\fs28 , z.B.\plain\f5\fs28\cf3 x\plain\f5\fs28 .
\par
\par Ein Aufruf der Funktion \plain\f5\fs28\cf1 interpolate\plain\f5\fs28\cf0 \plain\f5\fs28 ist also stets von der Form
\par \plain\f5\fs28\cf1 interpolate( \plain\f5\fs28\cf3 [x_1, x_2, . . . , x_n], [y_1,y_2, . . . , y_n], Variable \plain\f5\fs28\cf1 )\plain\f5\fs28 .\plain\f5\fs28\cf0 \plain\f5\fs28
\par
\par Als \plain\f5\fs28\cf2 R\'fcckgabewert\plain\f5\fs28 erh\'e4lt man \plain\f5\fs28\cf2 ein Polynom in der angegebenen Variablen, dass die
\par vorgegebenen Punkte interpoliert\plain\f5\fs28 .
\par
\par Wir betrachten ein Beispiel: Gegeben seien die Punkte (1 | 3), (4 | -1), (6 | 2 )
\par und (7 | -2). Gesucht ist das Polynom dritten Grades (dieses ist eindeutig
\par bestimmt!), welches durch genau diese Punkte verl\'e4uft.
\par
\par Das Polynom in x erhalten wir durch:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}p:= interpolate([1, 4, 6, 7], [3, -1, 2, -2], x)
\par \pard\ri4\plain\f5\fs28
\par Wir pr\'fcfen nach, ob p die vorgeschriebenen Bedingungen erf\'fcllt, d.h. ob die
\par obigen Punkte tats\'e4chlich auf p liegen:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}p(1) = 3, p(4) = -1, p(6) = 2, p(7) = -2
\par \pard\ri4\plain\f5\fs28
\par Das Polynom ist also korrekt. Wir k\'f6nnen es mit Hilfe von \plain\f5\fs28\cf1 plotfunc2d\plain\f5\fs28 , ganz wie
\par \'fcblich, darstellen.
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}plotfunc2d(p(x), x = 0..8)
\par \pard\ri4\plain\f5\fs28
\par Wollen wir zus\'e4tzlich unsere Punkte mit einzeichnen, so m\'fcssen wir auf die MuPAD
\par \plain\f5\fs28\cf1 plot\plain\f5\fs28 -Bibliothek zur\'fcckgreifen, die auch das Darstellen von Punkten erm\'f6glicht.
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}P1:= plot::Point2d(1, 3, PointSize = 3*unit::mm, Color = RGB::Red):
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs28\cf1 P2:= plot::Point2d(4, -1, PointSize = 3*unit::mm, Color = RGB::Green):
\par P3:= plot::Point2d(6, 2, PointSize = 3*unit::mm, Color = RGB::Violet):
\par P4:= plot::Point2d(7, -2, PointSize = 3*unit::mm, Color = RGB::Cyan):
\par
\par P:= plot::Function2d(expr(p), x = 0..8, Color = RGB::Blue):
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}plot(P, P1, P2, P3, P4):
\par \pard\ri4\plain\f5\fs28
\par
\par \plain\f5\fs20\cf2
\par \plain\f3\fs20\cf0\b _______________________________________________________________________________
\par \plain\f5\fs22\cf0
\par \plain\f5\fs22\cf3\b Anmerkungen:\plain\f5\fs22\cf3
\par \plain\f5\fs20\cf3\b 1\plain\f5\fs20\cf3 . Weitere Anregungen finden Sie in der Buchreihe \plain\f5\fs20\cf1 Mathematik 1 x anders\plain\f5\fs20\cf3 . In dieser Reihe
\par wird eine Vielzahl unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD gel\'f6st. Die
\par B\'fccher k\'f6nnen unter \plain\f4\fs20\cf2 www.schule.mupad.de/literatur\plain\f5\fs20\cf3 kostenfrei kopiert werden.
\par \plain\f5\fs20\cf2
\par \plain\f3\fs20\cf0\b _______________________________________________________________________________
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\par }