\mnb150ÿ{\rtf1\ansi\deff0\deftab720{\fonttbl{\f0\fswiss MS Sans Serif;}{\f1\froman\fcharset2 Symbol;}{\f2\fswiss\fprq2 System;}{\f3\fswiss\fprq2 Arial;}{\f4\fswiss\fprq2 Helvetica;}{\f5\fmodern\fprq1 Courier New;}{\f6\froman\fprq2 Times New Roman;}}
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\deflang1031\pard\ri4\plain\f5\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
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\par \plain\f5\fs20\cf0 Inhalt....: Numerisches L\'f6sen von Polynomgleichungen
\par Kategorie.: Grundkurs
\par Mathematik: Numerik
\par MuPAD.....: 3.0.0
\par Datum.....: 2004-03-31
\par Autoren...: Kai Gehrs
\par Funktionen: solve, numeric::solve, nops, intersect, R_
\par \plain\f5\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs36\cf0\b
\par \plain\f3\fs40\cf0\b Numerisches L\'f6sen von Polynomgleichungen
\par
\par \plain\f3\fs24\cf2 Dieses Arbeitsblatt ist Bestandteil des \plain\f3\fs24\cf2\b MuPAD Grundkurses\plain\f3\fs24\cf2 .\plain\f6\fs24
\par
\par \plain\f3\fs28 Wir alle kennen die ber\'fchmte p,q-Formel bzw. die a,b,c-Formel zur L\'f6sung
\par quadratischer Gleichungen aus der Schule. In seltenen F\'e4llen werden im
\par Schulunterricht auch die L\'f6sungsformeln f\'fcr kubische polynomielle Gleichungen
\par sowie polynomielle Gleichungen 4. Grades diskutiert. Es ist aber eine bekannte
\par Tatsache, dass es f\'fcr polynomielle Gleichungen 5. Grades oder h\'f6her keine
\par allgemeine geschlossene L\'f6sungsformel zur Bestimmung aller L\'f6sungen gibt.
\par
\par Versuchen wir eine hinreichend komplizierte polynomielle Gleichung mit der
\par Funktion solve zu l\'f6sen, so erhalten wir eine auf den ersten Blick merkw\'fcrdige
\par Antwort:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f5\fs28\cf5 {\pntext\f1\'b7\tab}solve(x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0, x)
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28 Ein Ausdruck der Form RootOf(...) weist immer darauf hin, dass die L\'f6sungen
\par entweder sehr kompliziert sind oder dass MuPAD die L\'f6sungen nicht symbolisch-
\par exakt berechnen kann (dieses ist KEIN MuPAD spezifisches Problem: siehe oben).
\par RootOf(...) steht f\'fcr "Wurzel aus ..." und ist ein historischer Begriff f\'fcr die L\'f6sungen
\par polynomieller Gleichungen, die man auch als "Wurzeln" ("Roots" im Englischen)
\par bezeichnet. Will man solche Gleichungen trotzdem l\'f6sen, so bleibt einem nichts
\par anderes \'fcbrig, als auf numerische L\'f6sungsverfahren zur\'fcckzugreifen.
\par
\par Solche L\'f6sungsverfahren zur Bestimmung der L\'f6sungen einer polynomiellen
\par Gleichung sind mit der MuPAD Funktion numeric::solve verf\'fcgbar. Diese Funktion
\par ist nicht nur auf polynomielle Gleichungen anwendbar, sondern kann zur L\'f6sung
\par ganz allgemeiner Gleichungen benutzt werden. Mit solchen allgemeineren Glei-
\par chungen, die sich in der Regel auch nicht exakt mit Hilfe einer L\'f6sungsformel
\par l\'f6sen lassen, besch\'e4ftigen wir uns im n\'e4chsten Abschnitt.
\par
\par Wir betrachten einige Beispiele polynomieller Gleichungen:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f5\fs28\cf5 {\pntext\f1\'b7\tab}numeric::solve(x^2 = PI^2, x)
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28 Sicherlich h\'e4tten wir bei dieser einfachen Gleichung auch direkt sehen k\'f6nnen,
\par was die exakten L\'f6sungen sind. Bei dem n\'e4chsten Beispiel wird dies schon
\par etwas schwieriger:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f5\fs28\cf5 {\pntext\f1\'b7\tab}numeric::solve(x^3 + x + 1 = 0, x)
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28 Wir sehen an diesem Beispiel sch\'f6n, dass numeric::solve im Fall von polynomiellen
\par Gleichungen stets alle L\'f6sungen zu finden scheint. Nach dem ber\'fchmten "Funda-
\par mentalsatz der Algebra", der auf Carl Friedrich Gau\'df zur\'fcckgeht, besitzt jede poly-
\par nomielle Gleichung n-ten Grades genau n (mit Vielfachheiten gez\'e4hlte) L\'f6sungen.
\par Im obigen Fall haben wir eine kubische Gleichung l\'f6sen lassen und in der Tat drei
\par L\'f6sungen gefunden.
\par
\par Die komplexen Nullstellen lassen sich mit Hilfe des Befehls intersect R_ aus-
\par schlie\'dfen:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f5\fs28\cf5 {\pntext\f1\'b7\tab}numeric::solve(x^3 + x + 1, x) intersect R_
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28 Zur L\'f6sung kubischer Gleichungen gibt es aber mit der sogenannten Cardano-
\par Formel noch immer eine M\'f6glichkeit, alle geschlossenen L\'f6sungen auch exakt
\par per Hand zu berechnen. Im n\'e4chsten Beispiel sieht dies schon ganz anders aus:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f5\fs28\cf5 {\pntext\f1\'b7\tab}L:= numeric::solve(x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0, x)
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28 Wir haben 6 L\'f6sungen gefunden und es gibt keine einzige reelle L\'f6sung:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f5\fs28\cf5 {\pntext\f1\'b7\tab}nops(L)
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f5\fs28\cf5 {\pntext\f1\'b7\tab}L intersect R_
\par \pard\ri4\plain\f5\fs20\cf0\b
\par ________________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs22\cf3\b
\par \plain\f3\fs22\cf1\b \'dcbungen:
\par 1.\plain\f3\fs22\cf1 Berechnen Sie alle und alle reellen L\'f6sungen der Gleichung x^11 + 1 = 0. L\'e4\'dft sich die Gleichung
\par \plain\f3\fs22\cf4 __\plain\f3\fs22\cf1 exakt mit Hilfe von solve l\'f6sen?
\par \plain\f5\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs22\cf0
\par \plain\f3\fs22\cf2\b Anmerkungen:\plain\f3\fs22\cf2
\par \plain\f3\fs20\cf2\b 1\plain\f3\fs20\cf2 . Weitere Anregungen finden Sie in der Buchreihe \plain\f3\fs20\cf5 Mathematik 1 x anders\plain\f3\fs20\cf2 . In dieser Reihe
\par wird eine Vielzahl unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD gel\'f6st. Die
\par B\'fccher k\'f6nnen unter \plain\f4\fs20\cf3 www.schule.mupad.de/literatur\plain\f3\fs20\cf2 kostenfrei kopiert werden.
\par \plain\f3\fs20\cf3
\par \plain\f5\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par \plain\f5\fs28\cf5
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