\mnb150ÿ{\rtf1\ansi\deff0\deftab720{\fonttbl{\f0\fswiss MS Sans Serif;}{\f1\froman\fcharset2 Symbol;}{\f2\fswiss\fprq2 System;}{\f3\fmodern\fprq1 Courier New;}{\f4\fswiss\fprq2 Arial;}{\f5\fswiss\fprq2 Helvetica;}{\f6\froman\fprq2 Times New Roman;}} {\colortbl\red0\green0\blue0;\red0\green0\blue255;\red255\green0\blue0;\red0\green128\blue0;} \deflang1031\pard\ri4\plain\f3\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________ \par \par \plain\f3\fs20\cf0 Inhalt....: Polynome \par Kategorie.: Grundkurs \par Mathematik: Zahlentheorie, Kryptographie \par MuPAD.....: 3.0.0 \par Datum.....: 2004-03-31 \par Autoren...: Kai Gehrs \par Funktionen: poly, divide, Dom::Integer \par \plain\f3\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________ \par \plain\f4\fs36\cf0\b \par \plain\f4\fs40\cf0\b Polynome \par \par \plain\f4\fs24\cf3 Dieses Arbeitsblatt ist Bestandteil des \plain\f4\fs24\cf3\b MuPAD Grundkurses\plain\f4\fs24\cf3 .\plain\f6\fs24 \par \par \plain\f4\fs28 Eine der elementarsten Familien von Funktionen in einer Unbestimmten ist die \par Familie der Polynomfunktionen (oder kurz Polynome). Der Umgang mit Poly- \par nomen soll hier am Beispiel des MuPAD Befehls "poly" demonstriert werden. \par \par Es gibt im wesentlichen zwei M\'f6glichkeiten, in MuPAD mit Polynomen zu rechnen. \par \par Die erste M\'f6glichkeit besteht darin, dass man Polynome als MuPAD Expressions \par (MuPAD Ausdr\'fccke) definiert. So kann z.B. das Polynom p = x^2 + 1 mittels \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}p:= x^2 + 1 \par \pard\ri4\plain\f4\fs28 definiert werden. Diese Vorgehensweise ist durchaus sinnvoll, wenn man sich \par ausschlie\'dflich im Bereich der Analysis bewegt und derartige Polynomfunktionen \par mit Mitteln der Differenzial- und Integralrechnung diskutiert. M\'f6chte man jedoch \par Polynome eher als algebraische Struktur ("Ring der Polynome") betrachten und \par algebraische oder zahlentheoretische Methoden wie z.B. die Berechnung des \par gr\'f6\'dften gemeinsamen Teilers zweier Polynome anwenden, so ist es sinnvoller, \par die Funktion poly zur Definition von Polynomen in MuPAD zu benutzen. \par \par Die Funktion "poly" erh\'e4lt stets zwei oder drei Argumente: Ein polynomialer Aus- \par druck in einer Unbestimmten, z.B. in x, dann eine einelementige Liste, die die \par Unbestimmte enth\'e4lt, die in dem polynomialen Ausdruck vorkommt, d.h. hier [ x ]. \par Als drittes, optionales Argument kann man einen Koeffizientenbereich angeben, \par aus dem die Koeffizienten des Polynoms stammen sollen - wird dieser nicht an- \par gegeben, so wird der gr\'f6\'dftm\'f6gliche Koeffizientenbereich von MuPAD gew\'e4hlt \par (d.h. Dom::ExpressionField - der Bereich, der alle Zahlen und Variablen umfasst). \par \par Ein Aufruf der Funktion ist also in der Regel entweder von der Form \par \par \pard\li1500\ri4\plain\f4\fs28 "poly( polynomialer Ausdruck z.B. in x, [ x ] )" \par \par \pard\ri4\plain\f4\fs28 oder, falls explizit ein bestimmter Koeffizientenbereich R gew\'fcnscht ist, von der \par Form \par \par \pard\li1500\ri4\plain\f4\fs28 "poly( polynomialer Ausdruck z.B. in x, [ x ], R )". \par \pard\ri4\plain\f4\fs28 \par Als R\'fcckgabewert liefert uns poly im ersten Fall ein Polynom in x \'fcber dem gr\'f6\'dft- \par m\'f6glichen in MuPAD verf\'fcgbaren Koeffizientenbereich Dom::ExpressionField(). \par \par Im zweiten Fall wird das Polynom so erzeugt, dass seine Koeffizienten aus dem \par explizit angegebenen Koeffizientenbereich R stammen. \par \par Wir betrachten einige Beispiele: \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}p:= poly(x^2 - 5*x + 6, [x]) \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}q:= poly(x^3 - 2*x^2 - x + 2, [x]) \par \pard\ri4\plain\f4\fs28 Wir k\'f6nnen nun mit den beiden Polynomen die \'fcblichen arithmetischen \par Operationen wie Addition und Multiplikation durchf\'fchren. Ein Vorteil besteht \par darin, dass wir stets wieder ein Polynom erhalten: \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}Summe:= p + q \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}Differenz:= p - q \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}Produkt:= p * q \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}p * poly(1/3, [x]) \par \pard\ri4\plain\f4\fs28 Das einzige, womit wir vorsichtig sein m\'fcssen, ist die Division. Als algebraische \par Struktur betrachtet, bildet die Menge der Polynome in einer Unbestimmten \'fcber \par einem speziellen Koeffizientenbereich einen Ring, aber keinen K\'f6rper. Elemente \par sind also (abgesehen von konstanten Polynomen, die in dem zugrundeliegenden \par Koeffizientenbereich invertierbar sind) nicht invertierbar. Dies teilt uns MuPAD \par auch ganz unverbl\'fcmt mit: \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}Quotient:= p / q \par \pard\ri4\plain\f4\fs28 \'c4hnlich wie bei ganzen Zahlen k\'f6nnen wir auch "ganzzahlige Division" durchf\'fchren \par und Reste betrachten. Die Funktion "divide" bestimmt den Quotienten zweier Poly- \par nome nach dem Euklidischen Algorithmus. \par \par Die Funktion "divide" erh\'e4lt stets zwei Argumente: Ein Polynom p in einer Unbe- \par stimmten, z.B. in x, und als zweites Argument ein Polynom q in derselben Unbe- \par stimmten wie p, hier z.B. in x. Ein Aufruf ist immer von der Form "divide ( p, q )". \par Als R\'fcckgabewert liefert uns die Funktion eine Sequenz von zwei Polynomen s \par und r. Dabei ist s der Quotient von p und q und r der Rest bei Division von p durch \par q, so dass gilt: p = s * q + r. \par \par Die Handhabung der Funktion ist also denkbar einfach. Wir erproben sie am \par Beispiel unserer Polynome: \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}divide(p, q) \par \pard\ri4\plain\f4\fs28 Wir machen die Probe: Auf das erste Polynom der Sequenz (d.h. auf den \par Quotienten unserer beiden Polynome) greifen wir wie auf die Elemente einer \par Liste mit dem Indexoperator [ ] zu: \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}s:= divide(p, q)[1] \par \pard\ri4\plain\f4\fs28 Der Rest, d.h. das Polynom r, ist gegeben durch \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}r:= divide(p, q)[2] \par \pard\ri4\plain\f4\fs28 Die Probe ergibt: \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}p = s * q + r \par \pard\ri4\plain\f4\fs28 Das Ergebnis ist also korrekt. Wir vertauschen noch einmal die Rollen von p \par und q: \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}divide(q, p) \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}s:= divide(q, p)[1] \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}r:= divide(q, p)[2] \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}q = s * p + r \par \pard\ri4\plain\f4\fs28 Wir f\'fchren nun die gleichen Rechnungen noch einmal durch - diesmal wollen wir \par aber explizit Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten betrachten. Der Bereich \par der ganzen Zahlen ist in MuPAD durch Dom::Integer gegeben. \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}R:= Dom::Integer \par \pard\ri4\plain\f4\fs28 Wir k\'f6nnen jetzt p und q als Polynome \'fcber R definieren und alle obigen \par Rechnungen erneut durchf\'fchren: \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}p:= poly(x^2 - 5*x + 6, [x], R) \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}q:= poly(x^3 - 2*x^2 - x + 2, [x], R) \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}Summe:= p + q \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}Differenz:= p - q \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}Produkt:= p * q \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}divide(p, q) \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}divide(q, p) \par \pard\ri4\plain\f4\fs28 Wo liegt nun der Unterschied zu den Polynomen p und q, die wir zuerst betrachtet \par haben? Nun, wir haben eine Rechnung von oben bisher aus gutem Grund nicht \par wiederholt: Die Multiplikation von p mit dem konstanten Polynom 1/3. \par \par Da 1/3 keine ganze Zahl ist, k\'f6nnen wir das konstante Polynom 1/3 \'fcber R erst gar \par nicht definieren: \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}poly(1/3, [x], R) \par \pard\ri4\plain\f4\fs28 MuPAD h\'e4lt sich also strikt daran, dass alle Koeffizienten tats\'e4chlich ganzzahlig \par sein m\'fcssen. Dieses Konzept ist vor allem dann wichtig, wenn man sicherstellen \par m\'f6chte, dass man bei bestimmten Rechnungen nicht aus einem fest vorgege- \par benen Koeffizientenbereich "herausf\'e4llt". \par \par Die Funktionen "gcd" und "gcdex" zur Berechnung des gr\'f6\'dften gemeinsamen \par Teilers sowie die Funktion "lcm" zur Berechnung des kleinsten gemeinsamen \par Vielfaches sind auch f\'fcr Polynome verwendbar. Wir verzichten hier auf eine \par genaue Beschreibung der Funktionen und verweisen auf die entsprechenden \par Hilfeseiten. \par \plain\f3\fs20\cf0\b _______________________________________________________________________________ \par \plain\f4\fs22\cf0 \par \plain\f4\fs22\cf3\b Anmerkungen:\plain\f4\fs22\cf3 \par \plain\f4\fs20\cf3\b 1\plain\f4\fs20\cf3 . Weitere Anregungen finden Sie in der Buchreihe \plain\f4\fs20\cf2 Mathematik 1 x anders\plain\f4\fs20\cf3 . In dieser Reihe \par wird eine Vielzahl unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD gel\'f6st. Die \par B\'fccher k\'f6nnen unter \plain\f5\fs20\cf1 www.schule.mupad.de/literatur\plain\f4\fs20\cf3 kostenfrei kopiert werden. \par \plain\f4\fs20\cf1 \par \plain\f3\fs20\cf0\b _______________________________________________________________________________ \par \plain\f3\fs28\cf2 \par \par }