\mnb150<nb wrap="0" txtwidth="75" autowidth="0" pprint="1" typeset="1" xface="Times New Roman" xsize="280" xbold="0" xitalic="0" xcolor="#0000FF" slidents="1" sizemult="71" minsize="160" ifont="0 280 255 0 49 Courier New" ofont="0 280 16711680 0 49 Courier New" tfont="0 280 0 0 34 Arial"></nb>ÿ{\rtf1\ansi\deff0\deftab720{\fonttbl{\f0\fswiss MS Sans Serif;}{\f1\froman\fcharset2 Symbol;}{\f2\fswiss\fprq2 System;}{\f3\fswiss\fprq2 Arial;}{\f4\fswiss\fprq2 Helvetica;}{\f5\fmodern\fprq1 Courier New;}{\f6\froman\fprq2 Times New Roman;}}
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\deflang1031\pard\ri4\plain\f5\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par 
\par \plain\f5\fs20\cf0 Inhalt....: Normalverteilung 
\par Kategorie.: Grundkurs
\par Mathematik: Stochastik, Statistik  
\par MuPAD.....: 3.0.0
\par Datum.....: 2004-03-31
\par Autoren...: Kai Gehrs <acrowley@mupad.de>
\par Funktionen: stats::binomialPF, stats::normalCDF, float, _plus, plotfunc2d 
\par \plain\f5\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs36\cf0\b 
\par \plain\f3\fs40\cf0\b Normalverteilung 
\par 
\par \plain\f3\fs24\cf1 Dieses Arbeitsblatt ist Bestandteil des \plain\f3\fs24\cf1\b MuPAD Grundkurses\plain\f3\fs24\cf1 .\plain\f6\fs24 
\par 
\par \plain\f3\fs28 Die Normalverteilung wird h\'e4ufig zur Approximation der Binomialverteilung benutzt. 
\par Wahrscheinlichkeiten ergeben sich in diesem Kontext stets als bestimmte Integrale 
\par der Gau\'dfschen Glockenkurve, die sich per Hand weder exakt noch numerisch auf 
\par akzeptable Weise berechen lassen. Nachdem sie Integralrechnung in der Schule 
\par eingef\'fchrt wurde, kann im Kontext der Stochastik MuPAD durchaus als Black-Box 
\par benutzt werden, um derartig komplizierte Integrale auszuwerten. Die Sch\'fclerin bzw. 
\par der Sch\'fcler wei\'df schlie\'dflich zu diesem Zeitpunkt bereits prinzipiell, was man unter 
\par der Integration einer Funktionen versteht. 
\par 
\par Bei gegebenem Erwartungswert und bekannter Standardabweichung interessiert 
\par man sich in der Regel f\'fcr Wahrscheinlichkeiten der Form P(X <= k ) f\'fcr eine 
\par normalverteilte Zufallsgr\'f6\'dfe X. Eine Standardaufgabe ist z.B. die folgende: Sei X 
\par binomialverteilt mit n = 1000, p = 1/6. Wie gro\'df ist die Wahrscheinlichkeit, dass X 
\par h\'f6chstens den Wert 168 annimmt? (Gesucht ist P(X <= 168)) 
\par 
\par Das Ergebnis soll exakt und mit Hilfe der Normalverteilung als Approximation f\'fcr 
\par die Binomialverteilung ermittelt werden. 
\par 
\par Wir definieren zuerst die entsprechende Werte f\'fcr n und p in MuPAD:
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f5\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}n:= 1000: 
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f5\fs28\cf3 p:= 1/6:
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28 
\par Nun berechnen wir den Erwartungswert und die Standardabweichung von X:
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f5\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}EW:= n * p
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f5\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}STD:= sqrt(n * p * (1-p))
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28 Schlie\'dflich definieren wir diejenige Variante der Gau\'dfschen Glockenkurve in 
\par MuPAD, die uns eine Approximation der binomialverteilten Zufallsgr\'f6\'dfe X.
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f5\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}gauss:= 1/STD * 1/(sqrt(2*PI)) * exp(-1/2 * ((x-EW)/STD)^2)
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28 ...und berechnen die Wahrscheinlichkeit \'fcber das entsprechende Integral.
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f5\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}float( int( gauss, x = -infinity..168) )
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28 Das exakte Ergebnis - mit Hilfe der Binomialverteilung berechnet - lautet:
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f5\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}float( _plus( stats::binomialPF(n, p)(k) $ k = 0..168 ))
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28 Man sieht sehr sch\'f6n das bekannte Ph\'e4nomen: Die Normalverteilung tendiert 
\par zur Untersch\'e4tzung von Wahrscheinlichkeiten. In der Regel verwendet man daher 
\par in der Praxis die sogenannte "Stetigkeitskorrektur", die wir in unserer Formel nicht 
\par eingearbeitet haben. 
\par 
\par Wie auch die Binomialverteilung ist die Normalverteilung in der Statistik-Bibliothek 
\par in MuPAD bereits vordefiniert. Die dort verf\'fcgbare Variante enth\'e4lt die ange-
\par sprochene Stetigkeitskorrektur und untersch\'e4tzt - wie wir unten sehen - die tat-
\par s\'e4chliche (exakte) Binomialwahrscheinlichkeit viel weniger:
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f5\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}N:= stats::normalCDF(500/3, 625/9):
\par {\pntext\f1\'b7\tab}float( N(168) )
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28 Erst in der dritten Nachkommastelle sieht man wieder das Ph\'e4nomen der Unter-
\par sch\'e4tzung des tats\'e4chlichen Ergebnisses. Zur Ausrufsyntax von stats::normalCDF 
\par bemerken wir noch, dass der erste Paramter 500/3 der Erwartungswert (hier also 
\par n * p) sowie der zweite Parameter die Varianz (hier also n * p * (1-p)) - und nicht 
\par etwa die Standardabweichung - ist. 
\par 
\par Angenehm ist in diesem Kontext auch die Tatsache, dass man Verteilungs-
\par funktionen aus der Statistik-Bibliothek mit Hilfe von "plotfunc2d" wie gew\'f6hnliche 
\par Funktionen darstellen kann. Am Beispiel unserer Normalverteilung von oben 
\par erhalten wir:
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f5\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}plotfunc2d(N(x), x = 0..300)
\par \pard\ri4\plain\f5\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs22\cf2\b 
\par \plain\f3\fs22\cf5\b \'dcbungen: 
\par 1.\plain\f3\fs22\cf5  Sei X (wie oben) binomialverteilt mit n = 2000, p = 3/7. Wie gro\'df ist die Wahrscheinlichkeit, dass 
\par \plain\f3\fs22\cf4 __\plain\f3\fs22\cf5 X h\'f6chstens den Wert 855 annimmt? (Gesucht ist P(X <= 855)) 
\par 
\par \plain\f3\fs22\cf4 __\plain\f3\fs22\cf5 Das Ergebnis soll exakt und mit Hilfe der Normalverteilung als Approximation f\'fcr die Binomial-
\par \plain\f3\fs22\cf4 __\plain\f3\fs22\cf5 verteilung ermittelt werden. Gehen Sie analog zu den obigen Berechnungen vor.
\par \plain\f5\fs20\cf0\b _______________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs22\cf0 
\par \plain\f3\fs22\cf1\b Anmerkungen:\plain\f3\fs22\cf1 
\par \plain\f3\fs20\cf1\b 1\plain\f3\fs20\cf1 .  Weitere Anregungen finden Sie in der Buchreihe \plain\f3\fs20\cf3 Mathematik 1 x anders\plain\f3\fs20\cf1 . In dieser Reihe 
\par      wird eine Vielzahl unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD gel\'f6st. Die 
\par      B\'fccher k\'f6nnen unter \plain\f4\fs20\cf2 www.schule.mupad.de/literatur \plain\f3\fs20\cf1 kostenfrei kopiert werden. 
\par \plain\f3\fs20\cf2 
\par \plain\f5\fs20\cf0\b _______________________________________________________________________________
\par \plain\f5\fs28\cf3 
\par 
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