\mnb150ÿ{\rtf1\ansi\deff0\deftab720{\fonttbl{\f0\fswiss MS Sans Serif;}{\f1\froman\fcharset2 Symbol;}{\f2\fswiss\fprq2 System;}{\f3\fswiss\fprq2 Arial;}{\f4\fmodern\fprq1 Courier New;}{\f5\fswiss\fprq2 Helvetica;}{\f6\froman\fprq2 Times New Roman;}} {\colortbl\red0\green0\blue0;\red0\green0\blue255;\red255\green0\blue0;\red0\green255\blue0;\red0\green128\blue0;\red0\green0\blue128;\red255\green255\blue255;} \deflang1031\pard\ri4\plain\f4\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________ \par \par \plain\f4\fs20\cf0 Inhalt....: Numerisches L\'f6sen von nicht-polynomialen Gleichungen \par Kategorie.: Handwerkskasten \par Mathematik: Numerik \par MuPAD.....: 3.1.1 \par Datum.....: 2005-04-04 \par Autoren...: Kai Gehrs \par Autoren...: Andreas Sorgatz \par Funktionen: solve, numeric::solve, numeric::realroots, plotfunc2d, YRange \par Funktionen: lhs, rhs, AllRealRoots \par \plain\f4\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________ \par \plain\f3\fs36\cf0\b \par \plain\f3\fs40\cf0\b Numerisches L\'f6sen von \par nicht-polynomialen Gleichungen \par \plain\f6\fs24 \par \plain\f3\fs28 Wir betrachten folgende nicht ganzrationale Gleichung und versuchen diese \par mit Hilfe des \'fcblichen in MuPAD Befehls \plain\f4\fs28\cf2 solve\plain\f3\fs28 zu l\'f6sen: \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}G:= x^3 + 1 = exp(x) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf2 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}solve(G, x) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf2 \par \pard\ri4\plain\f3\fs28 Dieser Ansatz f\'fchrt aber nicht zum Ziel, denn eine algebraische Darstellung \par der L\'f6sung ist in diesem Fall ganz allgemein nicht m\'f6glich. Da hilft nur eine \par n\'e4herungsweise (d.h. numerische) Berechnung der Nullstellen. \par \par Versuchen wir es dabei zun\'e4chst mit einem direkten Ansatz und gehen sp\'e4ter \par zu einem effektiveren Verfahren \'fcber. Wir verwenden \plain\f4\fs28\cf2 numeric::solve\plain\f3\fs28 , um \par N\'e4herungen der Nullstellen zu berechnen: \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}L1:= numeric::solve(G, x) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf2 \par \pard\ri4\plain\f3\fs28 Diese Funktion liefert uns h\'f6chstens eine Nullstelle der Gleichung, denn die \par existierenden numerischen Verfahren sind Intervall-orientiert (Newton- oder \par Bisektionsverfahren) und finden pro Intervall (hier die reellen [bzw. komplexen] \par Zahlen) h\'f6chstens eine Nullstelle. Insbesondere bei stark oszillierenden \par Funktionen ist es sogar so, dass man aus Effizienzgr\'fcnden gar nicht alle \par Nullstellen berechnet haben m\'f6chte (es gibt Funktionen, die in einem winzigen \par Intervall viele tausend Nullstellen besitzen). \par \par Beim direkten Ansatz ist es daher sinnvoll sich zun\'e4chst einen Eindruck von \par den Graphen der beteiligten Funktionen zu verschaffen: Term der linken Seite \par der Gleichung (\plain\f3\fs28\cf1 blau\plain\f3\fs28 ), rechte Seite (\plain\f3\fs28\cf2 rot\plain\f3\fs28 ) und die Differenz (\plain\f3\fs28\cf3 gr\'fcn\plain\f3\fs28 ). \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}plotfunc2d( lhs(G), rhs(G), lhs(G)-rhs(G), \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf2 x = -2..2, YRange = -2..6, \par GridVisible ) \par \pard\ri4\plain\f3\fs28 Neben der bereits gefundenen Nullstelle der gr\'fcnen Funktion weist die Zeichnung \par auf die Existenz von weiteren Nullstellen in den Intervallen [-1..-0.5] und [1..2] hin. \par Wir verwenden also erneut \plain\f4\fs28\cf2 numeric::solve\plain\f3\fs28 , schr\'e4nken diesmal aber die Such- \par intervalle entsprechend ein: \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}L2:= numeric::solve( G, x=-1..-0.5 ); \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf2 L3:= numeric::solve( G, x=1..2 ) \par \pard\ri4\plain\f3\fs28 \par Sind das nun alle L\'f6sungen? Oder liegen ggf. ausserhalb des gezeichneten \par Bereiches noch Nullstellen? Wir betrachten daher noch die Randintervalle: \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}L4:= numeric::solve( G, x=-1000..-2 ); \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf2 L5:= numeric::solve( G, x=1.55..1000 ) \par \par \pard\ri4\plain\f3\fs28\cf0 und \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}L6:= numeric::solve( G, x=4.57..1000 ) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf2 \par \pard\ri4\plain\f3\fs28\cf0 und vereinigen die einzelnen L\'f6sungsmengen: \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}L = _union(L1, L2, L3, L4, L5, L6) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf2 \par \pard\ri4\plain\f3\fs28 Die L\'f6sungsmenge \plain\f4\fs28\cf2 L\plain\f3\fs28 scheint nun vollst\'e4ndig zu sein, was anhand der folgen- \par den Zeichnung plausibel ist und mit Kenntnis \'fcber die Funktionen und deren \par streng monotonem Verlauf ausserhalb des gezeichneten Intervalls begr\'fcndet \par werden kann. \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}plotfunc2d( lhs(G) - rhs(G), \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf2 x = -3..5, YRange = -20..20, \par GridVisible ) \par \pard\ri4\plain\f3\fs28 \par Aus didaktischer Sicht ist an dieser Herangehensweise sch\'f6n, dass man sich \par aktiv mit den Funktionen und deren Graphen auseinandersetzt. \par \par Aber es ist kein Verfahren, dass man als "Black-Box" einsetzen kann, um schnell \par zu Ergebnissen zu kommen. Zudem muss man sich m\'f6glicher numerischer \par Probleme bewusst sein und sollte die Teilintervalle nicht unsinnig gro\'df w\'e4hlen, \par da die Nullstellen sonst ggf. nicht gefunden werden, sondern "durchrutschen": \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}numeric::solve( G, x=1..10 ) <> \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf2 numeric::solve( G, x=1..10^8 ) \par \par \pard\ri4\plain\f3\fs28\cf0 Ab MuPAD 3.1.1 steht f\'fcr die Funktion \plain\f4\fs28\cf2 numeric::solve\plain\f3\fs28\cf0 eine neue Option \par \plain\f4\fs28\cf2 AllRealRoots\plain\f3\fs28\cf0 ("Alle reellen Nullstellen") zur Verf\'fcgung. Diese ermittelt \'fcber \par eine geschickte Heuristik Suchintervalle und berechnet m\'f6glichst viele Null- \par stellen. Die Option arbeitet in vielen Praxisf\'e4llen einwandfrei und erspart eine \par eigene Angabe von Suchintervallen. Aufgrund der im folgenden geschilderten \par Problematiken kann das Verfahren aber nicht als ganz sicher angesehen werden. \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}L = numeric::solve( G, x, AllRealRoots ) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf2 \par \pard\ri4\plain\f3\fs28 Es ist oft g\'fcnstiger sich f\'fcr einen zu untersuchenden Bereich die Teilintervalle \par zur Nullstellensuche gezielt von MuPAD berechnen zu lassen. Dazu dient die \par Funktion \plain\f4\fs28\cf2 numeric::realroots\plain\f3\fs28 . Sie garantiert f\'fcr den untersuchten Bereich, \par dass ausserhalb der berechneten Intervalle keine Nullstelle existiert. Ihr \'fcber- \par geben wir den zu untersuchenden Bereich \plain\f4\fs28\cf2 x = -10^5..10^5\plain\f3\fs28 sowie die \par Option \plain\f4\fs28\cf2 Merge\plain\f3\fs28 , die bewirkt, dass benachbarte Intervalle zusammengefasst \par werden, sofern es sinnvoll erscheint: \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}LI:= numeric::realroots(G, x=-10^5..10^5, Merge) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf2 \par \pard\ri4\plain\f3\fs28\cf0 Wir erzeugen aus den Teillisten [a,b] von \plain\f4\fs28\cf2 LI\plain\f3\fs28\cf0 nun Bereiche a..b \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}LB:= map(LI, l -> l[1]..l[2]) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf2 \par \pard\ri4\plain\f3\fs28\cf0 und, da wir aufgrund des Funktionsgraphen wissen, dass in jedem Intervall genau \par eine Nullstelle liegt, \'fcbergeben diese an \plain\f4\fs28\cf2 numeric::solve\plain\f3\fs28 , um N\'e4herungen der \par Nullstellen zu berechnen: \par \plain\f3\fs28\cf0 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}numeric::solve(G, x = b) $ b in LB; \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf2 L = _union(%) \par \par \pard\ri4\plain\f3\fs28 Gen\'e4herte Zahlwerte zu den einzelnen Intervallen erhalten wir auch indem wir die \par Gr\'f6\'dfe der Intervalle an die aktuelle Rechengenaugikeit \plain\f4\fs28\cf2 10^(-DIGITS)\plain\f3\fs28 angleichen \par und dann einfach die linke Grenze des Intervalls nehmen: \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}LI:= numeric::realroots(G, x = -10^5..10^5, \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf2 10^(-DIGITS), Merge); \par L = \{l[1] $ l in LI\} \par \par \pard\ri4\plain\f3\fs28\cf0\b ABER VORSICHT: \par \plain\f3\fs28\cf0 Es k\'f6nnen in \plain\f4\fs28\cf2 LI\plain\f3\fs28\cf0 auch Intervalle auftauchen, in denen keine oder mehrere Null- \par stellen liegen. Die\plain\f3\fs28 Funktion \plain\f4\fs28\cf2 numeric::realroots\plain\f3\fs28 liefert uns mit den Intervallen \par also im wesentlichen ein Ausschlu\'dfkriterium f\'fcr Nullstellen.\plain\f3\fs28\cf0 \par \par Betrachten wir daher die Funktion sin(1/x): \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}H:= sin(1/x) = 0; \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}plot( \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf2 plot::Scene2d( plot::Function2d(lhs(H), x = -15..15), \par GridVisible ), \par plot::Scene2d( plot::Function2d(lhs(H), x = -1..1), \par GridVisible ), \par Width = 180 \par ) \par \pard\ri4\plain\f3\fs28\cf0 Wir erkennen, dass der Funktionsgraph mit zu wenigen St\'fctzpunkten gezeichnet \par wurde (einer zu geringen Abtastrate). Mittels \plain\f4\fs28\cf2 Mesh = 800\plain\f3\fs28\cf0 erh\'e4lt man eine realere \par Darstellung des Graphen. Das Attribut \plain\f4\fs28\cf2 Mesh\plain\f3\fs28\cf0 reguliert die Anzahl der St\'fctzstellen, \par die MuPAD intern verwendet, um einen Funktionsgraphen zu zeichnen (ganz \par \'e4hnlich zu der Vorgehensweise, wenn man per Hand einen Funktionsgraphen \par zeichnet: Auch dann berechnet man zu einigen x-Koordinaten die zugeh\'f6rigen \par y-Koordinaten, tr\'e4gt die Punkte in ein Koordinatensystem ein und zeichnet den \par Graphen durch die vorgegebenen Punkte). Zus\'e4tzlich schr\'e4nken wir den \par Definitionsbereich auf das eigentlich interessante Intervall [-1;1] um den Null- \par punkt ein: \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}plot(plot::Function2d(lhs(H), x = -1..1, Mesh = 800, \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf2 GridVisible), Width = 180) \par \par \pard\ri4\plain\f3\fs28\cf0 Nahe des Nullpunktes hat die Funktion oszilliert die Funktion sin(1/x) wild und \par besitzt unendlich viele Nullstellen. \par \par Genauer: Jedes 1/(k*PI) mit k aus der Menge der ganzen Zahlen ohne die Null \par ist L\'f6sung. \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}solve(H, x) \par \pard\ri4\plain\f3\fs28\cf0 \par Die Funktion \plain\f4\fs28\cf2 numeric::solve\plain\f3\fs28\cf0 findet ohne eine Bereichsangabe keine Nullstelle: \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}numeric::solve(H, x) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf2 \par \pard\ri4\plain\f3\fs28\cf0 Wir berechnen uns Nullstellenintervalle und N\'e4herungen als linke Grenzen der \par Intervalle \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}IL:= numeric::realroots(H, x = -1..1, Merge); \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf2 Intervalle = nops(IL); \par L = \{l[1] $ l in IL\} \par \par \pard\ri4\plain\f3\fs28\cf0 und erh\'f6hen die Genauigkeit auf eine Intervallbreite von 10^-4: \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}numeric::solve(H, x); \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf2 IL:= numeric::realroots(H, x = -1..1, 10^-4, Merge): \par Intervalle = nops(IL); \par L = \{l[1] $ l in IL\} \par \par \pard\ri4\plain\f3\fs28\cf0\b Fazit:\plain\f3\fs28\cf0 Eine Nullstellensuche ist alles andere als trivial. Kann die L\'f6sung nicht \par geschlossen dargestellt oder nicht von den algebraischen Algorithmen ge- \par funden werden, so bleibt nur eine numerische Intervalluntersuchung. \par \par \plain\f4\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________ \par \plain\f3\fs22\cf1\b \par \plain\f3\fs22\cf5\b \'dcbungen: \par 1.\plain\f3\fs22\cf5 Berechnen Sie alle reellen L\'f6sungen der folgenden Gleichungen. Stellen Sie zuvor die ent- \par \plain\f3\fs22\cf6 __\plain\f3\fs22\cf5 sprechenden linken Seiten der Gleichungen grafisch dar, um ein Gef\'fchl f\'fcr die Lokalit\'e4t der \par \plain\f3\fs22\cf6 __\plain\f3\fs22\cf5 Nullstellen zu erhalten. Findet solve eine symbolische (exakte) L\'f6sung? \par \plain\f3\fs8\cf5 \par \pard\li500\ri4\plain\f3\fs22\cf5 {\pict\wmetafile8\picw3034\pich770\picscalex99\picscaley98\picwgoal1737\pichgoal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Weitere Anregungen finden Sie in der Buchreihe \plain\f3\fs20\cf2 Mathematik 1 x anders\plain\f3\fs20\cf4 . In dieser Reihe \par wird eine Vielzahl unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD gel\'f6st. Die \par B\'fccher k\'f6nnen unter \plain\f5\fs20\cf1 www.mupad.de/schule+studium/literatur\plain\f3\fs20\cf4 kostenfrei kopiert werden. \par \plain\f3\fs20\cf1 \par \plain\f4\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________ \par \plain\f4\fs28\cf2 \par \par }