\mnb150ÿ{\rtf1\ansi\deff0\deftab720{\fonttbl{\f0\fswiss MS Sans Serif;}{\f1\froman\fcharset2 Symbol;}{\f2\fswiss\fprq2 System;}{\f3\fswiss\fprq2 Arial;}{\f4\fswiss\fprq2\fcharset1 Arial;}{\f5\fmodern\fprq1\fcharset1 Courier New;}{\f6\fmodern\fprq1 Courier New;}{\f7\froman\fcharset1 Times New Roman;}{\f8\fswiss\fprq2 Helvetica;}}
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\deflang1031\pard\ri4\plain\f6\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par
\par \plain\f6\fs20\cf0 Inhalt....: Der M\'fcnzwurf und das Schwache Gesetz der gro\'dfen Zahl
\par Kategorie.: Arbeitsblatt
\par Mathematik: Stochastik, Statistik
\par MuPAD.....: 3.1.1
\par Datum.....: 2005-06-24
\par Autoren...: Susanne Koch
\par Autoren...: Anke Kusterer
\par Autoren...: Anna Lena Stahr
\par Funktionen: combinat::cartesianProduct::list, binomial, ceil, trunc, union
\par Funktionen: plot::Polygon2d \plain\f6\fs20\cf0\b
\par ________________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs36\cf0\b
\par \plain\f3\fs40\cf0\b Der M\'fcnzwurf und das
\par \plain\f3\fs40\cf0\b\i Schwache Gesetz der gro\'dfen Zahl \plain\f3\fs40\cf0\b
\par \plain\f3\fs24\cf1
\par
\par \plain\f3\fs24\cf1\b Dieses Notebook ist als Erweiterung zu den Notebooks
\par
\par \plain\f3\fs24\cf1\b\i W\'fcrfelsimulation und relative H\'e4ufigkeit \plain\f3\fs24\cf1\b und\plain\f3\fs24\cf1\b\i Analyse von W\'fcrfelexperimenten\plain\f3\fs24\cf1\b
\par
\par aus dem \plain\f3\fs24\cf1\b\i Handwerkskasten\plain\f3\fs24\cf1\b zu verstehen. Wir wollen das \plain\f3\fs24\cf1\b\i Schwache Gesetz der
\par gro\'dfen Zahl\plain\f3\fs24\cf1\b anhand des M\'fcnzwurfexperiments studieren. Dazu werden wir uns
\par eingehender mit dem Wahrscheinlichkeitsraum f\'fcr den n-fachen M\'fcnzwurf
\par besch\'e4ftigen, d.h. wir werden uns \'fcberlegen, welche Ergebnisse bei diesem
\par Zufallsexperiment mit jeweils welcher Wahrscheinlichkeit auftreten k\'f6nnen. \plain\f3\fs24\cf1
\par \plain\f3\fs28\cf0
\par Bereits im Notebook \plain\f3\fs28\cf0\i W\'fcrfelsimulation und relative H\'e4ufigkeit\plain\f3\fs28\cf0 wurde
\par folgender grundlegende Satz der Stochastik zitiert:
\par
\par \plain\f3\fs28\cf4\b\ul Satz: \plain\f3\fs28\cf4
\par Mit zunehmender Versuchsanzahl stabilisiert sich in einem
\par Laplace-Experiment die relative H\'e4ufigkeit des betrachteten
\par Ereignisses um einen festen Wert, seine Wahrscheinlichkeit.
\par \plain\f3\fs28\cf0
\par Dabei zeichnen sich \plain\f3\fs28\cf0\i Laplace-Experimente\plain\f3\fs28\cf0 genau dadaurch aus, dass
\par jeder m\'f6gliche Versuchsausgang mit der gleichen Wahrscheinlichkeit
\par eintritt. Als Beispiele seien zun\'e4chst der einfache Wurf mit einem fairen
\par W\'fcrfel oder mit einer fairen M\'fcnze genannt. Oben zitierter Satz ist ein
\par Spezialfall des sogenannten \plain\f3\fs28\cf4 Schwachen Gesetzes der gro\'dfen Zahl\plain\f3\fs28\cf0 , eines
\par der wichtigsten S\'e4tze in der elementaren Wahrscheinlichkeitstheorie.
\par
\par Im Folgenden wollen wir uns auf M\'fcnzwurfexperimente konzentrieren: Wird
\par die M\'fcnze nur einmal geworfen, so kann man sich f\'fcr die Ereignisse \plain\f3\fs28\cf0\i "Es
\par f\'e4llt \plain\f3\fs28\cf2\i Zahl\plain\f3\fs28\cf0\i "\plain\f3\fs28\cf0 oder \plain\f3\fs28\cf0\i "Es f\'e4llt \plain\f3\fs28\cf2\i Wappen\plain\f3\fs28\cf0\i "\plain\f3\fs28\cf0 interessieren (f\'fcr Fu\'dfballspieler
\par beispielsweise ist dieses Experiment relevant; bestimmt der Ausgang doch
\par dar\'fcber, welches Team in der ersten Halbzeit den Ansto\'df hat). Im Fall einer
\par fairen M\'fcnze sind diese beiden Ereignisse gleichwahrscheinlich, sie treten
\par jeweils mit Wahrscheinlichkeit 1/2 ein. Daher werden wir uns im Folgenden
\par auf die Betrachtung eines dieser beiden Ereignisse, n\'e4mlich auf \plain\f3\fs28\cf0\i "Es f\'e4llt
\par \plain\f3\fs28\cf2\i Wappen\plain\f3\fs28\cf0\i "\plain\f3\fs28\cf0 , beschr\'e4nken. F\'fcr diesen Spezialfall k\'f6nnen wir den Satz also wie
\par folgt formulieren:
\par
\par \plain\f3\fs28\cf4\b\ul Folgerung: \plain\f3\fs28\cf4
\par Mit zunehmender Anzahl an M\'fcnzw\'fcrfen stabilisiert sich die
\par relative H\'e4ufigkeit des Auftretens von \plain\f3\fs28\cf2 Wappen\plain\f3\fs28\cf4 um den Wert 1/2.\plain\f3\fs28\cf0
\par \plain\f3\fs28\cf4
\par \plain\f3\fs28\cf0 In den Notebooks \plain\f3\fs28\cf0\i W\'fcrfelsimulation und relative H\'e4ufigkeit \plain\f3\fs28\cf0 und\plain\f3\fs28\cf0\i Analyse
\par von W\'fcrfelexperimenten \plain\f3\fs28\cf0 wurde jeweils anhand des W\'fcrfelwurfes (!)
\par untersucht, wie sich die relative H\'e4ufigkeit des Auftretens einer bestimmten
\par Augenzahl f\'fcr \plain\f3\fs28\cf0\b eine\plain\f3\fs28\cf0 - von MuPAD zuf\'e4llig generierte - Folge von n
\par W\'fcrfelw\'fcrfen der Wahrscheinlichkeit 1/6 ann\'e4hert, wenn n w\'e4chst.
\par Analog k\'f6nnte man mit vergleichbaren Prozeduren untersuchen, wie sich die
\par relative H\'e4ufigkeit des Auftretens von \plain\f3\fs28\cf2 Wappen\plain\f3\fs28\cf0 f\'fcr \plain\f3\fs28\cf0\b eine\plain\f3\fs28\cf0 - von MuPAD zuf\'e4llig
\par generierte - Folge von M\'fcnzw\'fcrfen der Wahrscheinlichkeit 1/2 ann\'e4hert.
\par Dabei w\'fcrde man vor allem folgende Beobachtung machen k\'f6nnen:
\par Es gibt Wurffolgen, bei denen sich die relative H\'e4ufigkeit des Auftretens von
\par \plain\f3\fs28\cf2 Wappen\plain\f3\fs28\cf0 \plain\f3\fs28\cf0\b nicht\plain\f3\fs28\cf0 um den Wert 1/2 stabilisiert. Im Fall von Versuchsausg\'e4ngen
\par der Bauart\plain\f3\fs28\cf2 (Zahl, Zahl, Zahl, Zahl, ....., Zahl, Zahl)\plain\f3\fs28\cf0 beispielsweise ist die
\par relative H\'e4ufigkeit des Auftretens von \plain\f3\fs28\cf2 Wappen\plain\f3\fs28\cf0 immer 0, unabh\'e4ngig davon,
\par wie oft hier genau \plain\f3\fs28\cf2 Zahl\plain\f3\fs28\cf0 geworfen wurde.
\par
\par \plain\f3\fs28\cf0\b Wieso ist dann der oben zitierte \plain\f3\fs28\cf4\b Satz\plain\f3\fs28\cf0\b bzw. seine \plain\f3\fs28\cf4\b Folgerung\plain\f3\fs28\cf0\b dennoch
\par richtig?\plain\f3\fs28\cf2\b
\par \plain\f3\fs28\cf0
\par Wir m\'fcssen uns Gedanken dar\'fcber machen, was unter dem Begriff
\par "stabilisieren" genau zu verstehen ist. Denn offensichtlich h\'e4ngt die relative
\par H\'e4ufigkeit des Auftretens von Wappen nach n W\'fcrfen ja ganz entscheidend
\par von den bis dahin gefallenen W\'fcrfen ab, sie ist nicht f\'fcr alle Wurffolgen
\par gleich! Unser Ziel wird es daher zun\'e4chst einmal sein, uns zu \'fcberlegen,
\par \tab (1.) welche m\'f6glichen Ergebnisse nach n M\'fcnzw\'fcrfen auftreten k\'f6nnen
\par und
\par \tab (2.) welche Wahrscheinlichkeiten sie jeweils haben.
\par (Dies kommt der Bestimmung des \plain\f3\fs28\cf0\i Wahrscheinlichkeitsraumes\plain\f3\fs28\cf0 f\'fcr den
\par n-fachen M\'fcnzwurf gleich.)
\par
\par Wir fangen mit dem einfachen Fall \plain\f3\fs28\cf0\ul n=2\plain\f3\fs28\cf0 an: Besteht das Zufallsexperiment im
\par \plain\f3\fs28\cf0\ul zweifachen\plain\f3\fs28\cf0 Werfen einer fairen M\'fcnze, so sind folgende Versuchsausg\'e4nge
\par m\'f6glich:
\par
\par 1. Wurf \plain\f3\fs28\cf2 Zahl\plain\f3\fs28\cf0 , 2. Wurf \plain\f3\fs28\cf2 Zahl \plain\f3\fs28\cf0
\par 1. Wurf \plain\f3\fs28\cf2 Zahl\plain\f3\fs28\cf0 , 2. Wurf \plain\f3\fs28\cf2 Wappen \plain\f3\fs28\cf0
\par 1. Wurf \plain\f3\fs28\cf2 Wappen\plain\f3\fs28\cf0 , 2. Wurf \plain\f3\fs28\cf2 Zahl \plain\f3\fs28\cf0
\par 1. Wurf \plain\f3\fs28\cf2 Wappen\plain\f3\fs28\cf0 , 2. Wurf \plain\f3\fs28\cf2 Wappen\plain\f3\fs28\cf0
\par
\par Der Fairness der M\'fcnze entsprechend ist jedes Ergebnis
\par gleichwahrscheinlich, d.h. jede dieser vier M\'f6glichkeiten tritt mit
\par Wahrscheinlichkeit 1/4 ein. (Auch der zweifache M\'fcnzwurf ist also ein
\par Laplace-Experiment.)
\par
\par Analog \'fcberlegt man sich nun, dass im Fall der \plain\f3\fs28\cf0\ul n-fachen\plain\f3\fs28\cf0 Wiederholung des
\par M\'fcnzwurfes (hierbei sei n eine beliebige nat\'fcrliche Zahl) genau \plain\f3\fs28 2\plain\f3\fs19\up14 n \plain\f3\fs28\cf0
\par verschiedene Versuchsausg\'e4nge m\'f6glich sind: Jeder Ausgang kann
\par durch eine Folge von n Symbolen, wobei jedes dieser Symbole entweder
\par \plain\f3\fs28\cf2 W\plain\f3\fs28\cf0 (f\'fcr \plain\f3\fs28\cf2 Wappen\plain\f3\fs28\cf0 ) oder \plain\f3\fs28\cf2 Z\plain\f3\fs28\cf0 (f\'fcr \plain\f3\fs28\cf2 Zahl\plain\f3\fs28\cf0 ) ist, angegeben werden. Demnach steht die
\par Liste \plain\f3\fs28\cf2 [W,W,Z,Z,W]\plain\f3\fs28\cf0 f\'fcr einen f\'fcnffachen M\'fcnzwurf, in dem zun\'e4chst zweimal
\par \plain\f3\fs28\cf2 Wappen\plain\f3\fs28\cf0 , dann zweimal \plain\f3\fs28\cf2 Zahl\plain\f3\fs28\cf0 und dann noch einmal \plain\f3\fs28\cf2 Wappen\plain\f3\fs28\cf0 gefallen ist.
\par Der Fairness der M\'fcnze entsprechend tritt jede der \plain\f3\fs28 2\plain\f3\fs19\up14 n \plain\f3\fs28\cf0 Folgen mit
\par der Wahrscheinlichkeit 1/\plain\f3\fs28 2\plain\f3\fs19\up14 n\plain\f3\fs28\cf0 auf. (F\'fcr \plain\f3\fs28\cf0\b jedes\plain\f3\fs28\cf0 nat\'fcrliche n ist also der n-fache
\par M\'fcnzwurf ein Laplace-Experiment!)
\par
\par \plain\f3\fs28 MuPAD bietet eine komfortable M\'f6glichkeit, \plain\f3\fs28\b alle\plain\f3\fs28 Ausg\'e4nge des n-fachen
\par M\'fcnzwurfexperimentes zu erhalten: Dazu greifen wir auf die MuPAD-Bibliothek
\par \plain\f3\fs28\cf7 combinat::cartesianProduct\plain\f3\fs28 zur\'fcck. Die Methode \plain\f3\fs28\cf7 list\plain\f3\fs28 gibt uns n\'e4mlich gerade
\par eine Liste aller m\'f6glichen Ausg\'e4nge des n-fachen M\'fcnzwurfes, sofern wir sie
\par auf das n-fache kartesische Produkt der Menge \{0,1\} anwenden. Um n - die
\par Anzahl der Wiederholungen des einfachen M\'fcnzwurfes - nicht festlegen zu
\par m\'fcssen, schreiben wir die kurze Prozedur \plain\f3\fs28\cf5 Ausgaenge\plain\f3\fs28 , die diese \plain\f3\fs28\cf1 Anzahl n\plain\f3\fs28 als
\par \plain\f3\fs28\cf5 Argument\plain\f3\fs28 \'fcbergeben bekommt:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f6\fs28\cf5 {\pntext\f1\'b7\tab}Ausgaenge:=proc(n)
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f6\fs28\cf5 begin
\par combinat::cartesianProduct::list(\{W,Z\} $ n)
\par end_proc:
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28
\par Wie oben schon dargelegt, bekommt man f\'fcr den zweifachen M\'fcnzwurf
\par dann also die folgenden vier Ausg\'e4nge:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f6\fs28\cf5 {\pntext\f1\'b7\tab}Ausgaenge(2)
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28\cf0 F\'fcr den f\'fcnffachen M\'fcnzwurf sind unseren obigen \'dcberlegungen
\par entsprechend bereits 32=\plain\f3\fs28 2\plain\f3\fs16\cf0\up14 5\plain\f3\fs28\cf0 Ausg\'e4nge m\'f6glich. Jeder tritt mit
\par Wahrscheinlichkeit 1/\plain\f3\fs28 2\plain\f3\fs16\cf0\up14 5 \plain\f3\fs28\cf0 ein. Im Einzelnen sind es die folgenden:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f6\fs28\cf5 {\pntext\f1\'b7\tab}Ausgaenge(5)
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28\cf0
\par \plain\f3\fs28 Um die Aussage der oben formulierten \plain\f3\fs28\cf4 Folgerung\plain\f3\fs28 zu verstehen, wollen wir uns
\par nun ein symmetrisches Intervall \plain\f3\fs28\cf8 Int_a:=[1/2-a,1/2+a]\plain\f3\fs28 der L\'e4nge 2a um den
\par Wert 1/2 (das ist gerade die Wahrscheinlichkeit f\'fcr das Auftreten von \plain\f3\fs28\cf2 Wappen
\par \plain\f3\fs28 im einfachen M\'fcnzwurf!) vorgeben und uns \'fcberlegen, f\'fcr welche der 2\plain\f3\fs19\up14 n\plain\f3\fs28
\par m\'f6glichen Versuchsausg\'e4nge im n-fachen M\'fcnzwurfexperiment die relative
\par H\'e4ufigkeit von \plain\f3\fs28\cf2 Wappen\plain\f3\fs28 \plain\f3\fs28\cf0\b nicht\plain\f3\fs28 in diesem Intervall \plain\f3\fs28\cf8 Int_a \plain\f3\fs28\cf0 liegt\plain\f3\fs28\cf8 ; \plain\f3\fs28\cf0 derartige
\par Versuchsausg\'e4nge wollen wir zuk\'fcnftig als\plain\f3\fs28\cf0\b Ausnahmefolgen\plain\f3\fs28\cf0 \plain\f3\fs28\cf0\b (der L\'e4nge n)\plain\f3\fs28\cf0
\par bezeichnen. Anders ausgedr\'fcckt lautet unsere zu beantwortende Frage also
\par wie folgt:\plain\f3\fs28\cf9
\par
\par \plain\f3\fs28\cf9\b \tab \plain\f3\fs28\cf9\b\ul Frage:\plain\f3\fs28\cf9
\par \tab Wie gro\'df ist f\'fcr fest vorgegebene Werte von n und a die Anzahl der
\par \tab Ausnahmefolgen?
\par \plain\f3\fs28\cf0
\par Wir m\'fcssen zun\'e4chst ein bisschen rechnen: F\'fcr einen beliebigen, aber fest
\par gew\'e4hlten Versuchsausgang L des \plain\f3\fs28 n-fachen M\'fcnzwurfexperiments sei k(L)
\par die Anzahl von \plain\f3\fs28\cf2 Wappen\plain\f3\fs28 . Dann ist L eine Ausnahmefolge, wenn k(L)/n nicht zu
\par \plain\f3\fs28\cf8 Int_a\plain\f3\fs28 geh\'f6rt, also |k(L)/n-1/2| >a ist. Dies ist aber genau dann der Fall, wenn
\par entweder
\par \tab (a) k(L)<(1/2-a)*n oder
\par \tab (b) k(L)>(1/2+a)*n
\par ist. Selbstverst\'e4ndlich ist k(L) mindestens 0 und h\'f6chstens n. \plain\f3\fs28\cf0 Damit gibt es
\par zwei Sorten von Ausnahmefolgen: Zum einen die, in denen die Gesamtzahl
\par k(L) von Wappen zwischen 0 und (1/2-a)*n liegt (dabei darf der gr\'f6\'dfere Wert
\par gem\'e4\'df (a) nicht angenommen werden) - hier hat man sozusagen \plain\f3\fs28\i "zu wenig
\par \plain\f3\fs28\cf2\i Wappen\plain\f3\fs28\i " -\plain\f3\fs28\cf0 und zum anderen die, in denen die Gesamtzahl k(L) von Wappen
\par zwischen (1/2+a)*n und n liegt (hierbei darf der kleinere Wert gem\'e4\'df (b) nicht
\par angenommen werden) - hier hat man sozusagen \plain\f3\fs28\cf0\i "zu viel \plain\f3\fs28\cf2\i Wappen\plain\f3\fs28\cf0\i "\plain\f3\fs28\cf0 .
\par Auf der Grundlage dieser \'dcberlegung schreiben wir jetzt eine Prozedur
\par \plain\f3\fs28\cf5 anz_wappen_in_ausnahmefolgen\plain\f3\fs28\cf0 , die uns - in Abh\'e4ngigkeit der \plain\f3\fs28\cf5 Argumente\plain\f3\fs28\cf0 \plain\f3\fs28\cf1 n\plain\f3\fs28\cf0
\par und \plain\f3\fs28\cf1 a\plain\f3\fs28\cf0 - berechnet,\plain\f3\fs28\cf3 f\'fcr welche Gesamtanzahlen k(L) von Wappen ein
\par Versuchsausgang L eine \plain\f3\fs28\cf3\b Ausnahmefolge\plain\f3\fs28\cf0 \plain\f3\fs28\cf3 der L\'e4nge n\plain\f3\fs28\cf0 im oben definierten
\par Sinne \plain\f3\fs28\cf3 ist\plain\f3\fs28\cf0 : Der \plain\f3\fs28\cf3 R\'fcckgabewert\plain\f3\fs28\cf0 der Prozedur ist also die Vereinigung der beiden
\par eben beschriebenen Mengen. Um den Forderungen (a) und (b) gerecht zu
\par werden, verwenden wir die MuPAD-eigenen Funktionen \plain\f3\fs28\cf7 ceil\plain\f3\fs28\cf0 (zum Aufrunden)
\par und \plain\f3\fs28\cf7 trunc\plain\f3\fs28\cf0 (zum Abrunden).
\par \plain\f3\fs28
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f6\fs28\cf5 {\pntext\f1\'b7\tab}anz_wappen_in_ausnahmefolgen:=proc(n,a)
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f6\fs28\cf5 local i,j,A1,A2;
\par begin
\par A1:=\{i $ i=0..ceil((1/2-a)*n)-1\}; // "zu wenig Wappen"
\par A2:=\{j $ j=trunc((a+1/2)*n)+1..n\};// "zu viel Wappen"
\par return(A1 union A2)
\par end_proc:
\par
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28 Nehmen wir uns nun den f\'fcnffachen M\'fcnzwurf vor, so liegt die relative
\par H\'e4ufigkeit von \plain\f3\fs28\cf2 Wappen\plain\f3\fs28 in einer Wurffolge also au\'dferhalb des Intervalls
\par [1/4,3/4], falls...
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f6\fs28\cf5 {\pntext\f1\'b7\tab}anz_wappen_in_ausnahmefolgen(5,1/4)
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28\cf0 ... die Wurffolge 0,1,4 oder 5 \plain\f3\fs28\cf2 Wappen\plain\f3\fs28\cf0 enth\'e4lt.
\par
\par Beim zehnfachen M\'fcnzwurf liegt die relative H\'e4ufigkeit von \plain\f3\fs28\cf2 Wappen\plain\f3\fs28\cf0 in einer
\par Wurffolge au\'dferhalb des Intervalls [1/4,3/4], falls
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f6\fs28\cf5 {\pntext\f1\'b7\tab}anz_wappen_in_ausnahmefolgen(10,1/4)
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28\cf0
\par ... die Wurffolge 0,1,2,8,9 oder 10 \plain\f3\fs28\cf2 Wappen\plain\f3\fs28\cf0 enth\'e4lt.
\par
\par Es ist zu erwarten, dass die Anzahl der Ausnahmefolgen w\'e4chst, wenn wir
\par dieIntervalll\'e4nge verringern. So \plain\f3\fs28 liegt zum Beispiel die relative H\'e4ufigkeit von
\par \plain\f3\fs28\cf2 Wappen\plain\f3\fs28 in einer Wurffolge au\'dferhalb des k\'fcrzeren Intervalls [3/8,5/8], falls...
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f6\fs28\cf5 {\pntext\f1\'b7\tab}anz_wappen_in_ausnahmefolgen(10,1/8)
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28\cf0 .. die Wurffolge nicht 4,5, oder 6 \plain\f3\fs28\cf2 Wappen\plain\f3\fs28\cf0 enth\'e4lt.
\par
\par Bezeichnet man alle Versuchsfolgen, f\'fcr die die relative H\'e4ufigkeit von
\par \plain\f3\fs28\cf2 Wappen \plain\f3\fs28\cf0 nicht genau 1/2 ist, als Ausnahmefolgen (dies entspricht dem Fall
\par a=0), so sind dies nat\'fcrlich genau alle diejenigen Folgen, in denen nicht
\par genau f\'fcnfmal \plain\f3\fs28\cf2 Wappen\plain\f3\fs28\cf0 f\'e4llt:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f6\fs28\cf5 {\pntext\f1\'b7\tab}anz_wappen_in_ausnahmefolgen(10,0)
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28\cf0 Halten wir fest: \plain\f3\fs28\cf0\b F\'fcr festes n ist die Anzahl der Ausnahmefolgen umso
\par gr\'f6\'dfer, je kleiner a ist.\plain\f3\fs28\cf0
\par Die Antwort auf die oben gestellte \plain\f3\fs28\cf9\b Frage\plain\f3\fs28\cf0 steht aber nach wie vor aus: Dort
\par hatten wir gefragt, \plain\f3\fs28\cf9 wie gro\'df f\'fcr fest vorgegebene Werte von n und a die
\par Anzahl der Ausnahmefolgen ist?
\par
\par \plain\f3\fs28\cf0 Dazu \'fcberlegen wir uns folgendes: Die Ausnahmefolgen sind ja gerade
\par diejenigen Versuchsfolgen, in denen die absolute Anzahl von \plain\f3\fs28\cf2 Wappen\plain\f3\fs28\cf0 der
\par Menge \plain\f3\fs28\cf5 anz_wappen_in_ausnahmefolgen(n,a)\plain\f3\fs28\cf0 entstammt.
\par Nun gibt es {\pict\wmetafile8\picw634\pich521\picscalex99\picscaley98\picwgoal362\pichgoal299
0100090000039702000007003E0000000000050000000B0200000000050000000C0209027A0203
0000001E00050000000C0210028002050000000B0200000000030000001E00050000000C021602
8902050000000B0200000000050000000B0200000000030000001E00050000000C021C02900205
0000000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000030000001E0005000000
0C0201000100050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000050000
000B0200000000050000000B0200000000050000000C0201000100050000000B02000000000500
00000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000050000000C024200500005
0000000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000
050000000B02000000000500000006010100000007000000FC0200001F1A17000000040000002D
01000008000000FA0205000100000000000000040000002D010100050000000601010000001E00
000024030D0023003D002300200026002000260031002E002800330028002B00300034003D002F
003D00290032002600350026003D0023003D0008000000FA020000000000000000000004000000
2D01020007000000FC020000FFFFFF000000040000002D01030004000000F001000007000000FC
020100000000000000040000002D01000008000000FA020000010000001F1A1700040000002D01
04001E00000024030D0023003D002300200026002000260031002E002800330028002B00300034
003D002F003D00290032002600350026003D0023003D00040000002D010200040000002D010300
04000000F001040007000000FC0200001F1A17000000040000002D010400040000002D01010005
0000000601010000003E00000024031D0022001A00220005002600050026000800280006002C00
05002E0005003000060031000600320007003300090033000A0033000B0033000D0033001A0030
001A0030000E0030000C002F000A002F0009002E0009002D0008002B0008002900080028000900
26000B0026000F0026001A0022001A00040000002D010200040000002D01030004000000F00104
00040000002D01000008000000FA020000010000001F1A1700040000002D0104003E0000002503
1D0022001A00220005002600050026000800280006002C0005002E000500300006003100060032
0007003300090033000A0033000B0033000D0033001A0030001A0030000E0030000C002F000A00
2F0009002E0009002D0008002B000800290008002800090026000B0026000F0026001A0022001A
00040000002D010200040000002D01030004000000F00104001C000000FB02C4FF1A0000000000
90010000000007000222417269616C00000099110A1814ED1200D89FF177E19FF1772020F377AD
1166D3040000002D0104001C000000FB021000070000000000BC02000000000102022253797374
656D0000DC120A6114ED1200D89FF177E19FF1772020F377AD1166D3040000002D010500040000
002D010400040000002D0105001C000000FB02C4FF1A0000000000900100000000070002224172
69616C00000002120A1214ED1200D89FF177E19FF1772020F377AD1166D3040000002D01060005
00000009021F1A1700050000002E0118000000050000000201010000000D000000320A31000400
04000000282020291400110010000500040000002D01050004000000F001060004000000F00104
00040000002701FFFF040000002701FFFF040000002701FFFF040000002701FFFF030000000000
}\plain\f3\fs28\cf0 M\'f6glichkeiten, k \plain\f3\fs28\cf2 Wappen\plain\f3\fs28\cf0 in einer Wurffolge von\plain\f3\fs28 n M\'fcnzw\'fcrfen
\par zu platzieren. (Um diesen Ausdruck zu berechnen, stellt MuPAD die Funktion
\par \plain\f3\fs28\cf7 binomial(n,k)\plain\f3\fs28 zur Verf\'fcgung.) Also brauchen wir nur die Anzahlen {\pict\wmetafile8\picw634\pich521\picscalex99\picscaley98\picwgoal362\pichgoal299
0100090000039702000007003E0000000000050000000B0200000000050000000C0209027A0203
0000001E00050000000C0210028002050000000B0200000000030000001E00050000000C021602
8902050000000B0200000000050000000B0200000000030000001E00050000000C021C02900205
0000000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000030000001E0005000000
0C0201000100050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000050000
000B0200000000050000000B0200000000050000000C0201000100050000000B02000000000500
00000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000050000000C024200500005
0000000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000
050000000B02000000000500000006010100000007000000FC0200001F1A17000000040000002D
01000008000000FA0205000100000000000000040000002D010100050000000601010000001E00
000024030D0023003D002300200026002000260031002E002800330028002B00300034003D002F
003D00290032002600350026003D0023003D0008000000FA020000000000000000000004000000
2D01020007000000FC020000FFFFFF000000040000002D01030004000000F001000007000000FC
020100000000000000040000002D01000008000000FA020000010000001F1A1700040000002D01
04001E00000024030D0023003D002300200026002000260031002E002800330028002B00300034
003D002F003D00290032002600350026003D0023003D00040000002D010200040000002D010300
04000000F001040007000000FC0200001F1A17000000040000002D010400040000002D01010005
0000000601010000003E00000024031D0022001A00220005002600050026000800280006002C00
05002E0005003000060031000600320007003300090033000A0033000B0033000D0033001A0030
001A0030000E0030000C002F000A002F0009002E0009002D0008002B0008002900080028000900
26000B0026000F0026001A0022001A00040000002D010200040000002D01030004000000F00104
00040000002D01000008000000FA020000010000001F1A1700040000002D0104003E0000002503
1D0022001A00220005002600050026000800280006002C0005002E000500300006003100060032
0007003300090033000A0033000B0033000D0033001A0030001A0030000E0030000C002F000A00
2F0009002E0009002D0008002B000800290008002800090026000B0026000F0026001A0022001A
00040000002D010200040000002D01030004000000F00104001C000000FB02C4FF1A0000000000
90010000000007000222417269616C000000AD110AD614ED1200D89FF177E19FF1772020F377DC
126663040000002D0104001C000000FB021000070000000000BC02000000000102022253797374
656D000099110A1914ED1200D89FF177E19FF1772020F377DC126663040000002D010500040000
002D010400040000002D0105001C000000FB02C4FF1A0000000000900100000000070002224172
69616C00000002120A1314ED1200D89FF177E19FF1772020F377DC126663040000002D01060005
00000009021F1A1700050000002E0118000000050000000201010000000D000000320A31000400
04000000282020291400110010000500040000002D01050004000000F001060004000000F00104
00040000002701FFFF040000002701FFFF040000002701FFFF040000002701FFFF030000000000
}\plain\f3\fs28
\par aufzusummieren, wobei wir k durch die Menge
\par \plain\f3\fs28\cf5 anz_wappen_in_ausnahmefolgen(n,a)\plain\f3\fs28\cf0 laufen lassen m\'fcssen.\plain\f3\fs28\cf5
\par \plain\f3\fs28\cf0 Dies geschieht in der nachfolgenden Prozedur \plain\f3\fs28\cf5 anz_ausnahmefolgen\plain\f3\fs28\cf0 , die
\par als \plain\f3\fs28\cf5 Argumente\plain\f3\fs28\cf0 wieder die \plain\f3\fs28\cf1 Versuchsanzahl\plain\f3\fs28\cf0 \plain\f3\fs28\cf1 n\plain\f3\fs28\cf0 und die \plain\f3\fs28\cf1 halbe Intervalll\'e4nge\plain\f3\fs28\cf0 \plain\f3\fs28\cf1 a\plain\f3\fs28\cf0
\par \'fcbergeben bekommt. Ihr \plain\f3\fs28\cf3 R\'fcckgabewert\plain\f3\fs28\cf0 ist die \plain\f3\fs28\cf3 gesuchte Anzahl von
\par Ausnahmefolgen der L\'e4nge n\plain\f3\fs28\cf0 , also die Anzahl von Versuchsfolgen, in
\par denen die relative H\'e4ufigkeit von Wappen \plain\f3\fs28\cf0\b nicht\plain\f3\fs28\cf0 im Intervall [1/2-a,1/2+a]
\par liegt.
\par \plain\f3\fs28
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f6\fs28\cf5 {\pntext\f1\'b7\tab}anz_ausnahmefolgen:=proc(n,a)
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f6\fs28\cf5 local b,k;
\par begin
\par b:=_plus(binomial(n,k) $ k in anz_wappen_in_ausnahmefolgen(n,a));
\par return(b)
\par end_proc:
\par
\par
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28\cf0 F\'fcr die obigen Beispiele erhalten wir f\'fcr die Anzahlen der Ausnahmefolgen also
\par folgende Werte:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f6\fs28\cf5 {\pntext\f1\'b7\tab}anz_ausnahmefolgen(5,1/4)
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28\cf0
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f6\fs28\cf5 {\pntext\f1\'b7\tab}anz_ausnahmefolgen(10,1/4);
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f6\fs28\cf5 anz_ausnahmefolgen(10,1/8);
\par anz_ausnahmefolgen(10,0)
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28\cf0 Nun wollen wir als n\'e4chstes den \plain\f3\fs28\cf0\b relativen Anteil\plain\f3\fs28\cf0 an Ausnahmefolgen im
\par n-fachen M\'fcnzwurf bestimmen: Dazu m\'fcssen wir \plain\f3\fs28\cf5 anz_ausnahmefolgen(n,a)
\par \plain\f3\fs28\cf0 nur\plain\f3\fs28\cf5 \plain\f3\fs28\cf0 noch durch die Gesamtanzahl aller m\'f6glichen Versuchsfolgen, also \plain\f3\fs28 2\plain\f3\fs19\up14 n\plain\f3\fs28 ,
\par \plain\f3\fs28\cf0 dividieren: Dies geschieht in der nachfolgenden Prozedur
\par \plain\f3\fs28\cf5 rel_anteil_ausnahmefolgen\plain\f3\fs28\cf0 :
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f6\fs28\cf5 {\pntext\f1\'b7\tab}rel_anteil_ausnahmefolgen:=proc(n,a)
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f6\fs28\cf5 begin
\par return(anz_ausnahmefolgen(n,a)/2^n)
\par end_proc:
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28\cf0
\par F\'fcr die obigen Beispiele erhalten wir dann f\'fcr die relativen Anteile der
\par Ausnahmefolgen folgende Werte:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f6\fs28\cf5 {\pntext\f1\'b7\tab}rel_anteil_ausnahmefolgen(5,1/4)
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f6\fs28\cf5 {\pntext\f1\'b7\tab}rel_anteil_ausnahmefolgen(10,1/4);
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f6\fs28\cf5 rel_anteil_ausnahmefolgen(10,1/8);
\par rel_anteil_ausnahmefolgen(10,0);
\par
\par
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28\cf0 Besonders spannend, ist es nun, f\'fcr ein fest vorgegebenes Intervall um den
\par Wert 1/2 (d.h. ein festes a) und gr\'f6\'dfer werdende Versuchsanzahlen n die
\par \plain\f3\fs28\cf0\b Entwicklung\plain\f3\fs28\cf0 des relativen Anteils von Ausnahmefolgen zu betrachten.
\par \plain\f3\fs28
\par Auch hierzu schreiben wir wieder eine Prozedur, die im Wesentlichen auf die
\par Prozedur \plain\f3\fs28\cf5 rel_anteil_ausnahmefolgen\plain\f3\fs28 zur\'fcckgreift. Als \plain\f3\fs28\cf5 Argumente\plain\f3\fs28 \'fcbergeben
\par wir hier
\par \tab (a) \plain\f3\fs28\cf1 eine maximale Versuchsanzahl m\plain\f3\fs28\cf0 ;\plain\f3\fs28 die Prozedur
\par \tab \plain\f3\fs28\cf5 rel_anteil_ausnahmefolgen\plain\f3\fs28 wird f\'fcr alle Versuchsanzahlen n kleiner
\par oder gleich m aufgerufen werden.
\par (b) die \plain\f3\fs28\cf1 halbe Intervalll\'e4nge a \plain\f3\fs28\cf0 (wie oben).\plain\f3\fs28
\par Die Prozedur gibt eine \plain\f3\fs28\cf3 Grafik \plain\f3\fs28\cf0 aus,\plain\f3\fs28\cf3 die f\'fcr jede Anzahl von
\par Versuchswiederholungen kleiner oder gleich m anzeigt, wie gro\'df der relative
\par Anteil an Ausnahmefolgen der L\'e4nge n ist.\plain\f3\fs28
\par \plain\f3\fs28\cf0
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f6\fs28\cf5 {\pntext\f1\'b7\tab}entwicklung:=proc(m,a)
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f6\fs28\cf5 local i,L,j,g;
\par begin
\par for i from 1 to m do
\par L[i]:=rel_anteil_ausnahmefolgen(i,a)
\par end_for;
\par g:=plot::Polygon2d([[i,L[i]] $ i=1..m],
\par XAxisTitle="Anzahl der W\'fcrfe",
\par XAxisTitleAlignment=Begin,
\par XTicksNumber=None, XTicksAt=[5*i $ i=1..m/5],
\par XTicksLabelStyle=Vertical,
\par YAxisTitle="",
\par YTicksNumber=None,YTicksAt=[j/5 $ j=0..5],
\par Header="
\par Aufgetragen ist hier der relative Anteil von
\par Versuchsfolgen im n-fachen M\'fcnzwurf, bei denen
\par die relative H\'e4ufigkeit von Wappen au\'dferhalb des
\par Intervalls ".expr2text([1/2-a,1/2+a])." liegt, gegen n.");
\par plot(plot::Canvas(g, Height=120, Width=200));
\par end_proc: \plain\f6\fs28\cf0
\par
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28\cf0 Betrachten wir nun einmal f\'fcr verschiedene Werte von a, d.h. f\'fcr
\par verschiedene Intervalll\'e4ngen um den Wert 1/2, die Entwicklung des relativen
\par Anteils von Ausnahmefolgen:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f6\fs28\cf5 {\pntext\f1\'b7\tab}entwicklung(100,1/4)
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28\cf0 Hier erkennt man deutlich, dass der Anteil der Ausnahmefolgen mit
\par wachsender Versuchsanzahl sehr schnell abnimmt (auch wenn er
\par zwischendurch immer wieder kurz ansteigt - \plain\f3\fs28\cf10 man erkl\'e4re sich dieses
\par Ph\'e4nomen!!\plain\f3\fs28\cf0 ). Das hei\'dft im \plain\f3\fs28\cf0\b Umkehrschluss\plain\f3\fs28\cf0 , dass der Anteil derjenigen
\par Versuchsfolgen, bei denen die relative H\'e4ufigkeit von \plain\f3\fs28\cf2 Wappen\plain\f3\fs28\cf0 \plain\f3\fs28\cf0\b im \plain\f3\fs28\cf0 Intervall
\par [1/4,3/4] liegt, sehr schnell gegen 1 geht - dass also, je \'f6fter man den
\par M\'fcnzwurf wiederholt, f\'fcr "fast alle" m\'f6glichen Versuchsausg\'e4nge dieses
\par Mehrfachexperiments die relative H\'e4ufigkeit von Wappen h\'f6chstens um 1/4
\par von der Wahrscheinlichkeit 1/2, im einfachen Experiment \plain\f3\fs28\cf2 Wappen\plain\f3\fs28\cf0 zu werfen,
\par abweicht. Verkleinert man die L\'e4nge des erlaubten Intervalls, so ist diese
\par Entwicklung nach wie vor zu erkennen, sie verl\'e4uft aber nicht mehr ganz so
\par schnell:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f6\fs28\cf5 {\pntext\f1\'b7\tab}entwicklung(100,1/8)
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28\cf0 F\'fcr noch kleineres a erh\'e4lt man beispielsweise folgendes Bild:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f6\fs28\cf5 {\pntext\f1\'b7\tab}entwicklung(100,1/50)
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28\cf0 Ein Grenz\'fcbergang gegen 0 ist hier bei Versuchsanzahl 100 noch nicht
\par auszumachen. Erh\'f6hen wir also einmal die maximal auszuwertende
\par Versuchsanzahl f\'fcr den gleichen Wert von a:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f6\fs28\cf5 {\pntext\f1\'b7\tab}entwicklung(400,1/50)
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28\cf0 Es l\'e4sst sich erahnen, dass man f\'fcr eine derart kleine Intervalll\'e4nge um den
\par Wert 1/2 die Versuchsanzahl noch weiter erh\'f6hen muss, um mit dem
\par relativen Anteil von Ausnahmefolgen nahe an 0 zu kommen. Da die Prozedur
\par \plain\f3\fs28\cf5 entwicklung\plain\f3\fs28\cf0 jedoch sehr rechenintensiv ist und wir die Tatsache, dass der
\par relative Anteil der Ausnahmefolgen - bis auf die Spr\'fcnge - tendenziell
\par abnimmt, aufgrund der bisherigen Beobachtungen nicht anzweifeln, schreiben
\par wir noch eine Prozedur \plain\f3\fs28\cf5 entwicklung_grob\plain\f3\fs28\cf0 , die im Wesentlichen das Gleiche
\par leistet wie die Prozedur \plain\f3\fs28\cf5 entwicklung\plain\f3\fs28\cf0 , in der jedoch nur diejenigen
\par Versuchsfolgen ausgewertet werden, in denen die Anzahl der W\'fcrfe ein
\par Vielfaches von einem \plain\f3\fs28\cf5 weiteren Argument\plain\f3\fs28\cf0 \plain\f3\fs28\cf1 k\plain\f3\fs28\cf0 ist:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f6\fs28\cf5 {\pntext\f1\'b7\tab}entwicklung_grob:=proc(m,a,k)
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f6\fs28\cf5 local i,L,j,h;
\par begin
\par for i from 1 to m/k do
\par L[i]:=rel_anteil_ausnahmefolgen(k*i,a)
\par end_for;
\par h:=plot::Polygon2d([[k*i,L[i]] $ i=1..m/k],
\par XAxisTitle="Anzahl der W\'fcrfe",
\par XAxisTitleAlignment=Begin,
\par XTicksNumber=None,XTicksAt=[k*i $ i=1..m/k],
\par XTicksLabelStyle=Vertical,
\par YAxisTitle="",
\par YTicksNumber=None,
\par YTicksAt=[j/5 $ j=0..5],
\par Header="
\par Aufgetragen ist hier der relative Anteil von
\par Versuchsfolgen im n-fachen M\'fcnzwurf, bei denen
\par die relative H\'e4ufigkeit von Wappen au\'dferhalb des
\par Intervalls ".expr2text([1/2-a,1/2+a])." liegt, gegen n.");
\par plot(plot::Canvas(h, Height=120, Width=200));
\par end_proc:
\par
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28\cf0 In 10er-Schritten sieht die Grafik f\'fcr a=1/50 und maximale Versuchsanzahl von
\par 800 dann wie folgt aus:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f6\fs28\cf5 {\pntext\f1\'b7\tab}entwicklung_grob(800,1/50,10)
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28\cf0 Um den Grenz\'fcbergang gegen 0 noch besser zu erkennen, erh\'f6hen wir die
\par maximale Versuchsanzahl und die Schrittweite noch weiter:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f6\fs28\cf5 {\pntext\f1\'b7\tab}entwicklung_grob(2000,1/50,50)
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28\cf0 Aus den vorangegangenen Grafiken kann man sehr sch\'f6n ablesen, dass
\par der relative Anteil von Ausnahmefolgen der L\'e4nge n f\'fcr die von uns
\par gew\'e4hlten Werte von a mit steigendem n (tendenziell, d.h. bis auf die
\par Spr\'fcnge) abnimmt, umgekehrt also \plain\f3\fs28\cf0\b der relative Anteil von
\par Versuchsfolgen, f\'fcr die sich die relative H\'e4ufigkeit von Wappen in
\par einem 2a-Intervall um die Wahrscheinlichkeit 1/2 eines Wappenwurfes
\par befindet, immer mehr dem Wert 1 ann\'e4hert.\plain\f3\fs28\cf0 Und genau in diesem Sinne
\par ist die oben angegebene \plain\f3\fs28\cf4 Folgerung\plain\f3\fs28\cf0 zu verstehen: Dass sich, wie dort
\par formuliert,\plain\f3\fs28\cf0\i die relative H\'e4ufigkeit des Auftretens von Wappen mit
\par zunehmender Anzahl von M\'fcnzw\'fcrfen um den Wert 1/2 stabilisiert\plain\f3\fs28\cf0 , hei\'dft
\par nicht, dass f\'fcr \plain\f3\fs28\cf0\b jede denkbare\plain\f3\fs28\cf0 Folge von n M\'fcnzw\'fcrfen die relative H\'e4ufigkeit
\par von Wappen f\'fcr gro\'dfe n sehr nahe bei 1/2 liegt, sondern nur, dass der Anteil
\par der Folgen, f\'fcr die das \plain\f3\fs28\cf0\b nicht \plain\f3\fs28\cf0 so ist, mit steigender Versuchsanzahl, bezogen
\par auf die Gesamtanzahl m\'f6glicher Versuchsfolgen, immer kleiner wird.
\par
\par \plain\f6\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs22\cf0
\par \plain\f3\fs22\cf3\b Aufgaben:\plain\f3\fs22\cf3
\par \plain\f3\fs20\cf3\b 1\plain\f3\fs20\cf3 . Betrachten Sie die Grafik zu \plain\f6\fs20\cf5 entwicklung(100,0) \plain\f3\fs20\cf3 und erkl\'e4ren Sie deren Verlauf.
\par \plain\f3\fs20\cf3\b 2.\plain\f3\fs20\cf3 Schreiben Sie entsprechende Prozduren f\'fcr den Wurf eines fairen W\'fcrfels und die Ereignisse
\par \tab (a) "Es f\'e4llt eine 1."
\par \tab (b) "Es f\'e4llt eine gerade Zahl."
\par \tab (c) "Es f\'e4llt mindestens eine 5."
\par \plain\f6\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs22\cf0
\par \plain\f3\fs22\cf1\b Anmerkungen:\plain\f3\fs22\cf1
\par \plain\f3\fs20\cf1\b 1.\plain\f3\fs20\cf1 F\'fcr die wahrscheinlichkeitstheoretischen Grundlagen sei beispielweise auf das Buch "Einf\'fchrung in
\par die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik" von Dehling, H. & Haupt, B., Springer-Verlag
\par Berlin Heidelberg 2003, verwiesen.
\par
\par \plain\f3\fs20\cf1\b 2\plain\f3\fs20\cf1 . Weitere Anregungen zum Einsatz von MuPAD in der Lehre finden Sie auf unserem WebPortal
\par \plain\f3\fs20\cf1\i MuPAD in Schule und Studium\plain\f3\fs20\cf1 unter: \plain\f3\fs20\cf3 http://schule.mupad.de\plain\f3\fs20\cf1 bzw. \plain\f3\fs20\cf3 http://studium.mupad.de\plain\f3\fs20\cf1 .
\par \plain\f6\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par
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\par }