\mnb150ÿ{\rtf1\ansi\deff0\deftab720{\fonttbl{\f0\fswiss MS Sans Serif;}{\f1\froman\fcharset2 Symbol;}{\f2\fswiss\fprq2 System;}{\f3\fswiss\fprq2 Arial;}{\f4\fmodern\fprq1 Courier New;}{\f5\fswiss\fprq2 Helvetica;}{\f6\froman\fprq2 Times New Roman;}} {\colortbl\red0\green0\blue0;\red0\green128\blue0;\red255\green0\blue0;\red0\green0\blue128;\red0\green0\blue255;} \deflang1031\pard\ri4\plain\f4\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________ \par \par \plain\f4\fs20\cf0 Inhalt....: Numerische Integration \par Kategorie.: Grundkurs \par Mathematik: Numerik \par MuPAD.....: 3.0.0 \par Datum.....: 2004-03-31 \par Autoren...: Kai Gehrs \par Funktionen: numeric::int, plotfunc2d \par \plain\f4\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________ \par \plain\f3\fs36\cf0\b \par \plain\f3\fs40\cf0\b Numerische Integration \par \par \plain\f3\fs24\cf1 Dieses Arbeitsblatt ist Bestandteil des \plain\f3\fs24\cf1\b MuPAD Grundkurses\plain\f3\fs24\cf1 .\plain\f6\fs24 \par \par \plain\f3\fs28 Die Berechnung von bestimmten Integralen ist \'e4hnlich wie das L\'f6sen kompli- \par zierter Gleichungen ein klassisches Beispiel daf\'fcr, wo h\'e4ufig symbolische \par L\'f6sungsverfahren scheitern. Abgesehen von wohl ausgesuchten Beispielen, \par wie wir sie alle aus Schulb\'fcchern kennen, sind wohl nur wenige Funktionen im \par Reellen tats\'e4chlich per Hand mit Papier und Bleistift problemlos integrierbar. \par Numerische Integrationsverfahren helfen in der Regel sogar dann, wenn man \par keine reelle Stammfunktion finden kann. Dies ist z.B. bei der aus der Stochastik \par und Statistik bekannten Gau\'dfschen Glockenkurve der Fall. Anhand dieses Bei- \par spiels wollen wir erste Erfahrungen im Umgang mit der MuPAD Funktion \par numeric::int zur numerischen Integration sammeln: \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}numeric::int( 1/sqrt(2*PI) * exp(-1/2 * x^2), x = -2..2 ) \par \pard\ri4\plain\f3\fs28 Hier haben wir also das bestimmte Integral von -2 bis 2 der Gau\'dfchen Glocken- \par kurve n\'e4herungsweise berechnet. Diese Berechnung ist innerhalb von Millise- \par kunden durchgef\'fchrt worden. Aus der Theorie der Stochastik ist bekannt, dass \par der Fl\'e4cheninhalt unter der gesamten Glockenkurve 1 betr\'e4gt. Mit Hilfe von \par numeric::solve l\'e4\'dft sich dieses uneigentliche Integral explizit berechnen: \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}numeric::int( 1/sqrt(2*PI) * exp(-1/2 * x^2), x = -infinity..infinity ) \par \pard\ri4\plain\f3\fs28 H\'e4ufig st\'f6\'dft man gerade bei komplizierten e-Funktionen auf die Schwierigkeit, \par keine Stammfunktion angeben zu k\'f6nnen, mit der sich dann das gesuchte be- \par stimmte Integral berechnen l\'e4\'dft. Im folgenden betrachten wir eine weitere \par "schwierige" Funktion, deren Graphen wir uns zun\'e4chst von plotfunc2d darstellen \par lassen: \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}plotfunc2d( x * exp(-x^3 + x^2), x = 0..4 ) \par \pard\ri4\plain\f3\fs28 Auch diese Funktion klingt f\'fcr x gegen unendlich sehr schnell ab. Das Integral \par von 0 bis unendlich sollte daher existieren. Wir berechnen einige bestimmte \par Integrale, und beobachten dass Wachstum der Werte: \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}numeric::int( x * exp(-x^3 + x^2), x = 0..1 ) \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}numeric::int( x * exp(-x^3 + x^2), x = 0..2 ) \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}numeric::int( x * exp(-x^3 + x^2), x = 0..3 ) \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}numeric::int( x * exp(-x^3 + x^2), x = 0..4 ) \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}numeric::int( x * exp(-x^3 + x^2), x = 0..5 ) \par \pard\ri4\plain\f3\fs28 Die letzten beiden Werte unterscheiden sich schon nicht mehr (bis 10 Stellen \par genau). Nun schauen wir, ob das uneigentliche Integral von 0 bis unendlich (bis \par auf 10 Stellen genau) tats\'e4chlich mit diesem Wert \'fcbereinstimmt: \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}numeric::int( x * exp(-x^3 + x^2), x = 0..infinity ) \par \pard\ri4\plain\f4\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________ \par \plain\f3\fs22\cf4\b \par \plain\f3\fs22\cf3\b \'dcbungen: \par 1.\plain\f3\fs22\cf3 Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale: \par \par \pard\li500\ri4\plain\f3\fs22\cf3 {\pict\wmetafile8\picw7359\pich1733\picscalex98\picscaley98\picwgoal4215\pichgoal993 010009000003F86F00000000A06F00000000050000000B0200000000050000000C02C506BF1C03 0000001E00050000000C02D8060C1D050000000B0200000000030000001E00050000000C02EA06 581D050000000B0200000000050000000B0200000000030000001E00050000000C02EC06591D05 0000000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000A06F0000430F2000CC00 000043001C0100000000EC06591D00000000280000001C010000430000000100180000000000FC DE0000C40E0000C40E00000000000000000000FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF 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