\mnb150ÿ{\rtf1\ansi\deff0\deftab720{\fonttbl{\f0\fswiss MS Sans Serif;}{\f1\froman\fcharset2 Symbol;}{\f2\fswiss\fprq2 System;}{\f3\fswiss\fprq2 Arial;}{\f4\fmodern\fprq1 Courier New;}{\f5\fswiss\fprq2 Helvetica;}}
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\deflang1031\pard\ri4\plain\f4\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par
\par \plain\f4\fs20\cf0 Inhalt....: Bestimmte und unbestimmte Integration
\par Kategorie.: Handwerkskasten
\par Mathematik: Analysis
\par MuPAD.....: 3.0.0
\par Datum.....: 2002-02-06
\par Autoren...: Kai Gehrs
\par Funktionen: int, iszero, sin, cos, exp
\par \plain\f4\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs36\cf0\b
\par \plain\f3\fs40\cf0\b Elementare MuPAD-Funktionen:
\par Bestimmte und unbestimmte Integration \plain\f3\fs24\cf2
\par
\par Hier lernen wir die MuPAD-Funktion zur Integration kennen.
\par \plain\f3\fs28\cf0
\par \plain\f3\fs28 Integration von Funktionen mit MuPAD ist ganz einfach - dies steht nat\'fcrlich\plain\f3\fs28\cf4
\par \plain\f3\fs28\cf0 in einem extremen Gegensatz dazu, wenn man Integration per Hand mit
\par \plain\f3\fs28 Papier und Bleistift durchf\'fchren muss.
\par
\par Die Funktion \plain\f3\fs28\cf3 int\plain\f3\fs28\cf0 berechnet sowohl bestimmte als auch unbestimmte Integrale.
\par Sie erh\'e4lt stets \plain\f3\fs28\cf2 zwei Argumente\plain\f3\fs28\cf0 :
\par
\par \plain\f3\fs28\cf3 1. Argument: \plain\f3\fs28\cf0 Die \plain\f3\fs28\cf2 Funktion\plain\f3\fs28\cf0 , die zu integrieren ist.
\par
\par \plain\f3\fs28\cf3 2. Argument: \plain\f3\fs28\cf0 Die \plain\f3\fs28\cf2 Integrationsvariable\plain\f3\fs28\cf0 , falls man ein unbestimmtes Integral
\par berechnen m\'f6chte, oder eine \plain\f3\fs28\cf2 Gleichung\plain\f3\fs28\cf0 der Form
\par \plain\f3\fs28\cf2 Integrationsvariable = Integrationsintervall \plain\f3\fs28\cf0 bei der bestimmten
\par Integration.
\par
\par Ein Aufruf ist also stets von der Form \plain\f3\fs28\cf3 int( \plain\f3\fs28\cf2 Funktion, Integrationsvariable \plain\f3\fs28\cf3 )\plain\f3\fs28\cf0 , im
\par Falle unbestimmter Integration zur Berechnung der Stammfunktion, und von
\par der Form \plain\f3\fs28\cf3 int( \plain\f3\fs28\cf2 Funktion, Integrationsvariable = a..b \plain\f3\fs28\cf3 )\plain\f3\fs28\cf0 , wenn bestimmte Integration
\par im Intervall von \plain\f3\fs28\cf2 a\plain\f3\fs28\cf0 bis \plain\f3\fs28\cf2 b\plain\f3\fs28\cf0 durchgef\'fchrt werden soll.
\par
\par \plain\f3\fs28 Wir erproben die Funktion \plain\f3\fs28\cf3 int\plain\f3\fs28 an einigen Beispielen:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}f_1:= x^2 - 5*x + 5;
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf3 f_2:= sin(x);
\par f_3:= cos(x);
\par f_4:= exp(x);
\par f_5:= 4/x;\plain\f3\fs28\cf3
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28
\par Die Stammfunktionen oder unbestimmten Integrale erhalten wir
\par \plain\f3\fs28\cf0 folglich \plain\f3\fs28 \'fcber:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}F_1:= int(f_1, x);
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf3 F_2:= int(f_2, x);
\par F_3:= int(f_3, x);
\par F_4:= int(f_4, x);
\par F_5:= int(f_5, x);
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28
\par Die Ergebnisse k\'f6nnen wir durch nachtr\'e4gliche Differentiation \'fcberpr\'fcfen.
\par Wir leiten die Stammfunktionen ab, bilden dann die Differenz zur
\par urspr\'fcnglichen Funktion und fragen mit Hilfe der Funktion \plain\f3\fs28\cf3 iszero\plain\f3\fs28 ab,
\par ob das Ergebnis tats\'e4chlich Null ist. Wir sehen also, dass die Ergebnisse
\par \plain\f3\fs28\cf0 tats\'e4chlich\plain\f3\fs28\cf4 \plain\f3\fs28 korrekt sind:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}iszero( diff(F_1, x) - f_1);
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf3 iszero( diff(F_2, x) - f_2);
\par iszero( diff(F_3, x) - f_3);
\par iszero( diff(F_4, x) - f_4);
\par iszero( diff(F_5, x) - f_5);
\par \pard\ri4\plain\f4\fs28\cf3
\par \plain\f3\fs28 Unbestimmte Integrale lassen sich durch explizite Angabe des
\par Integrationsintervalls berechnen.
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}int(f_1, x = 1..2);
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf3 int(f_2, x = 3..4);
\par int(f_3, x = 0..4);
\par int(f_4, x = 1..2);
\par int(f_5, x = 2..4);
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28
\par MuPAD liefert uns also die exakten Werte - diese k\'f6nnen wir durch
\par Verwendung der Funktion \plain\f3\fs28\cf3 float\plain\f3\fs28 auch in Gleitkommadarstellung um-
\par formen.
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}float( int(f_1, x = 1..2) );
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf3 float( int(f_2, x = 3..4) );
\par float( int(f_3, x = 0..4) );
\par float( int(f_4, x = 1..2) );
\par float( int(f_5, x = 2..4) );
\par \pard\ri4\plain\f4\fs20\cf0\b
\par ________________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs22\cf0
\par \plain\f3\fs22\cf1\b Aufgaben:\plain\f3\fs22\cf1
\par \plain\f3\fs20\cf1 1. Berechnen Sie die unbestimmten Integrale der Funktionen mit Hilfe von \plain\f3\fs20\cf3 int\plain\f3\fs20\cf1 :
\par (a) f:= 4*x^2 - 2*x
\par (b) g:= 6*x^3 - 3*x
\par (c) h:= cos(x) \plain\f3\fs20\cf2
\par \plain\f3\fs20\cf1 (d) l:= 3*exp(x)^2 - 1
\par (e) m:= x^7 + x - 2
\par (f) n:= x^4 - x - 14 \plain\f4\fs20\cf0\b
\par
\par \plain\f3\fs20\cf1 2. Berechnen Sie die bestimmten Integrale der oben angegebenen Funktionen in geeigneten
\par Integrationsintervallen.\plain\f4\fs20\cf0\b
\par _______________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs22\cf0
\par \plain\f3\fs22\cf2\b Anmerkungen:\plain\f3\fs22\cf2
\par \plain\f3\fs20\cf2\b 1\plain\f3\fs20\cf2 . Weitere Anregungen finden Sie in der Buchreihe \plain\f3\fs20\cf3 Mathematik 1 x anders\plain\f3\fs20\cf2 . In dieser Reihe
\par wird eine Vielzahl unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD gel\'f6st. Die
\par B\'fccher k\'f6nnen unter \plain\f5\fs20\cf1 www.schule.mupad.de/literatur\plain\f3\fs20\cf2 kostenfrei kopiert werden.
\par \plain\f3\fs20\cf1
\par \plain\f4\fs20\cf0\b _______________________________________________________________________________
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