\mnb150ÿ{\rtf1\ansi\deff0\deftab720{\fonttbl{\f0\fswiss MS Sans Serif;}{\f1\froman\fcharset2 Symbol;}{\f2\fswiss\fprq2 System;}{\f3\fswiss\fprq2 Arial;}{\f4\fmodern\fprq1 Courier New;}{\f5\fswiss\fprq2 Helvetica;}}
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\deflang1031\pard\ri4\plain\f4\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par
\par \plain\f4\fs20\cf0 Inhalt....: Wuerfelsimulation und relative Haeufigkeit
\par Kategorie.: Handwerkskasten
\par Mathematik: Stochastik, Statistik
\par MuPAD.....: 3.0.0
\par Datum.....: 2002-03-3
\par Autoren...: Kai Gehrs
\par Funktionen: random
\par \plain\f4\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs36\cf0\b
\par \plain\f3\fs40\cf0\b Elementare MuPAD-Funktionen:
\par W\'fcrfelsimulation und relative H\'e4ufigkeit \plain\f3\fs24\cf1
\par
\par Die Stochastik bietet eine Vielzahl einzelner Themenbereiche, bei denen der Einsatz von
\par MuPAD sehr n\'fctzlich sein kann.
\par
\par Im folgenden wollen wir das n-malige Werfen mit einem idealen W\'fcrfel durch MuPAD
\par simulieren. F\'fcr gro\'dfes n, sagen wir n = 10000, ist eine praktische Umsetzung dieses Zufalls-
\par experiments fast nicht mehr durchf\'fchrbar.
\par \plain\f3\fs28\cf0
\par \plain\f3\fs28 Der exakte mathematische Beweis des folgenden Satzes ist \'e4u\'dferst
\par kompliziert:
\par
\par \plain\f3\fs28\cf0 \tab \tab "Mit zunehmender Versuchsanzahl in einem
\par \tab \tab Laplace-Experiment stabilisiert sich die relative
\par \tab \tab H\'e4ufigkeit des betrachteten Ereignisses um
\par \tab \tab einen festen Wert, seine Wahrscheinlichkeit."
\par \plain\f3\fs28
\par Der Satz \plain\f3\fs28\cf0 besagt\plain\f3\fs28 , dass wir z.B. mit einem idealen W\'fcrfel nur oft genug
\par w\'fcrfeln m\'fcssen, damit die relative H\'e4ufigkeit, eine Sechs zu w\'fcrfeln,
\par in die tats\'e4chliche Wahrscheinlichkeit \'fcbergeht.
\par
\par Wir haben es also mit einem Grenzwertproze\'df zu tun. Der Satz kann
\par im Rahmen einer Mathematikausbildung in der Schule und sogar im
\par Rahmen der ersten Semester eines Studiums der Mathematik nicht
\par wirklich exakt bewiesen werden, aber dennoch arbeiten wir bereits zum
\par Teil in den Klassen 9 und 10 mit Wahrscheinlichkeiten. Um Sch\'fclerinnen
\par und Sch\'fclern ein intuitives Verst\'e4ndnis des Sachverhaltes geben zu
\par k\'f6nnen, definieren wir hier eine MuPAD Funktion, die das n-malige
\par W\'fcrfeln mit einem idealen W\'fcrfel simuliert und anschlie\'dfend die
\par relative H\'e4ufigkeit der Sechs ausgibt.
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}Wuerfeln:=random( 1..6 ):
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf3 relativeHaeufigkeit := proc(n)
\par local rh;
\par begin
\par rh := 0;
\par for i from 1 to n do
\par if Wuerfeln() = 6 then
\par rh := rh + 1;
\par end_if;
\par end_for;
\par return ( rh/n );
\par end_proc:
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28
\par Die erste Zeile definiert die Funktion \plain\f3\fs28\cf3 Wuerfeln\plain\f3\fs28\cf0 , die Zufallszahlen aus
\par der Menge \{1,2,3,4,5,6\} produziert. Sie erh\'e4lt \plain\f3\fs28\cf1 keine Argumente\plain\f3\fs28\cf0 , ein
\par Aufruf ist stets von der Form \plain\f3\fs28\cf3 Wuerfeln( )\plain\f3\fs28\cf0 . \plain\f3\fs28\cf2 R\'fcckgabewert\plain\f3\fs28\cf0 ist stets ein
\par \plain\f3\fs28\cf2 Element der Menge \{1,2,3,4,5,6\}\plain\f3\fs28\cf0 .
\par
\par Wir testen die Funktion einige Male:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}Wuerfeln();
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf3 Wuerfeln();
\par Wuerfeln();
\par Wuerfeln()
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28
\par Sie k\'f6nnen diese Eingaberegion nacheinander immer wieder auswerten
\par und werden feststellen, dass stets andere Zahlen erscheinen.
\par
\par Nun zu der Funktion \plain\f3\fs28\cf3 relativeHaeufigkeit\plain\f3\fs28\cf0 . Sie erh\'e4lt \plain\f3\fs28\cf3 ein Argument\plain\f3\fs28\cf0 :
\par
\par \plain\f3\fs28\cf3 1. Argument: \plain\f3\fs28\cf0 Eine \plain\f3\fs28\cf1 nat\'fcrliche Zahl n\plain\f3\fs28\cf0 , die Anzahl der W\'fcrfe mit einem idealen
\par W\'fcrfel\plain\f3\fs28
\par
\par \plain\f3\fs28\cf2 R\'fcckgabewert \plain\f3\fs28\cf0 ist eine \plain\f3\fs28\cf2 rationale Zahl zwischen 0 und 1\plain\f3\fs28\cf0 , die \plain\f3\fs28\cf2 relative
\par H\'e4ufigkeit der geworfenen Sechsen\plain\f3\fs28\cf0 . Ein Aufruf der Funktion ist daher
\par von der Form \plain\f3\fs28\cf3 relativeHaeufigkeit(\plain\f3\fs28\cf1 n\plain\f3\fs28\cf3 )\plain\f3\fs28\cf0 .
\par
\par Wir simulieren das Zufallsexperiment f\'fcr n = 10, 100, 1000, 10000, 100000
\par Durchf\'fchrungen. Dabei ist der erste Wert stets das exakte Ergebnis und der
\par zweite Wert eine auf 10 signifikante Stellen genaue N\'e4herung:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}relativeHaeufigkeit(10); float(%);
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs28\cf3
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}relativeHaeufigkeit(100); float(%);
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf3
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}relativeHaeufigkeit(1000); float(%);
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}relativeHaeufigkeit(10000); float(%);
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}relativeHaeufigkeit(100000); float(%);
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28
\par Auf diese Weise kann man sich leicht vorstellen, dass die relative
\par H\'e4ufigkeit tats\'e4chlich gegen den Wert 1/6 = 0.1666666... konvergiert.
\par \plain\f4\fs20\cf0\b
\par ________________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs22\cf0
\par \plain\f3\fs22\cf2\b Aufgaben:\plain\f3\fs22\cf2
\par \plain\f3\fs20\cf2\b 1\plain\f3\fs20\cf2 . F\'fchren Sie die obigen Befehlszeilen einige Male neu aus. Beobachten Sie Ver\'e4nderungen der Werte?
\par Versuchen Sie, auch ein wenig mit anderen Werten f\'fcr n zu spielen.
\par
\par \plain\f3\fs20\cf2\b 2\plain\f3\fs20\cf2 . \'c4ndern Sie die obige Prozedur so ab, dass statt des W\'fcrfelexperiments ein Gl\'fccksradexperiment
\par zugrunde liegt. Dabei soll das Gl\'fccksrad vier verschiedene Felder aufweisen, die alle mit der gleichen
\par Wahrscheinlichkeit getroffen werden.
\par \plain\f4\fs20\cf0\b _______________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs22\cf0
\par \plain\f3\fs22\cf1\b Anmerkungen:\plain\f3\fs22\cf1
\par \plain\f3\fs20\cf1\b 1\plain\f3\fs20\cf1 . Weitere Anregungen finden Sie in der Buchreihe \plain\f3\fs20\cf3 Mathematik 1 x anders\plain\f3\fs20\cf1 . In dieser Reihe
\par wird eine Vielzahl unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD gel\'f6st. Die
\par B\'fccher k\'f6nnen unter \plain\f5\fs20\cf2 www.schule.mupad.de/literatur\plain\f3\fs20\cf1 kostenfrei kopiert werden.
\par \plain\f3\fs20\cf2
\par \plain\f4\fs20\cf0\b _______________________________________________________________________________
\par
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\par }