\mnb150ÿ{\rtf1\ansi\deff0\deftab720{\fonttbl{\f0\fswiss MS Sans Serif;}{\f1\froman\fcharset2 Symbol;}{\f2\fswiss\fprq2 System;}{\f3\fswiss\fprq2 Arial;}{\f4\fswiss\fprq2 Helvetica;}{\f5\fmodern\fprq1 Courier New;}}
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\deflang1031\pard\ri4\plain\f5\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par
\par \plain\f5\fs20\cf0 Inhalt....: Elementare Laplacewahrscheinlichkeiten
\par Kategorie.: Handwerkskasten
\par Mathematik: Stochastik
\par MuPAD.....: 3.0.0
\par Datum.....: 2002-03-4
\par Autoren...: Kai Gehrs
\par Funktionen: nops, union, intersect
\par \plain\f5\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs36\cf0\b
\par \plain\f3\fs40\cf0\b Elementare MuPAD-Funktionen:
\par Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten \plain\f3\fs24\cf1
\par
\par In diesem Notebook stellen wir einige ganz elementare Funktionen zur Stochastik vor,
\par die ausschlie\'dflich auf der elementaren, mengentheoretischen Definition der Wahr-
\par scheinlichkeit basieren.
\par
\par \plain\f3\fs28 Wir verwenden die \'fcbliche Schulnotation: Allen Laplace-Experimenten
\par liegt eine Grundmenge Omega zugrunde, die Menge aller m\'f6glichen
\par Elementarereignisse (z.B. beim W\'fcrfeln die Menge \{1,2,3,4,5,6\} ).
\par
\par M\'f6gliche Ereignisse bei einem Laplace-Experiment fassen wir als
\par Teilmengen der Grundmenge Omega auf (z.B. das Ereignis, bei
\par einmaligem W\'fcrfeln eine gerade Zahl zu erhalten, entspricht der
\par Menge \{2,4,6\} ).
\par
\par Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A ist gegeben durch den
\par Quotienten aus der Anzahl der Elemente von A und der Anzahl der
\par Elemente der Grundmenge Omega.
\par
\par Wir definieren Funktionen, die die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen
\par Ereignisses, sowie die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung und des
\par Durchschnitts zweier Ereignisse berechnen.
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f5\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}P1:= (A, Omega) -> nops(A)/nops(Omega)
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28
\par Die Prozedur \plain\f3\fs28\cf3 P1\plain\f3\fs28 beschreiben wir in der \'fcblichen Weise. Sie erh\'e4lt
\par stets \plain\f3\fs28\cf1 zwei Argumente\plain\f3\fs28 :
\par
\par \plain\f3\fs28\cf3 1. Argument:\plain\f3\fs28 Eine \plain\f3\fs28\cf1 Menge A (Teilmenge von Omega)\plain\f3\fs28 , die ein Ereignis
\par definiert
\par
\par \plain\f3\fs28\cf3 2. Argument:\plain\f3\fs28 Eine \plain\f3\fs28\cf1 Menge Omega (Obermenge von A)\plain\f3\fs28 , die der, dem
\par Laplace-Experiment zugrundeliegenden Grundmenge
\par entspricht
\par
\par \plain\f3\fs28\cf2 R\'fcckgabewert\plain\f3\fs28 ist eine \plain\f3\fs28\cf2 rationale Zahl zwischen 0 und 1 oder 0 oder
\par 1 selbst\plain\f3\fs28 , die \plain\f3\fs28\cf2 Laplace-Wahrscheinlichkeit\plain\f3\fs28 des Ereignisses A. Ein
\par Aufruf der Funktio\plain\f3\fs28\cf0 n besitzt also gew\'f6hnlich die \plain\f3\fs28 Form \plain\f3\fs28\cf3 P2( \plain\f3\fs28\cf1 A, Omega \plain\f3\fs28\cf3 )\plain\f3\fs28 .
\par
\par Angenommen wir haben ein Gl\'fccksrad mit den Feldern 1 bis 100,
\par nummeriert mit den Zahlen 1 bis 100 (alle gleich gro\'df).
\par Wie gro\'df ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir bei einmaligem Drehen
\par des Rades eine Zahl zwischen 60 und 80 erhalten?
\par
\par Dieses einfache Problem k\'f6nnen wir jetzt wie folgt l\'f6sen:
\par
\par Wir definieren die Mengen Omega und A (der Bequemlichkeit
\par halber mit dem \plain\f3\fs28\cf3 $\plain\f3\fs28\cf0 -Operator):
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f5\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}Omega:= \{k $ k = 1..100\}
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f5\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}A:= \{k $ k =60..80\}
\par \pard\ri4\plain\f5\fs28\cf3
\par \plain\f3\fs28 Die Wahrscheinlichkeit f\'fcr unser Ereignis A ist \plain\f3\fs28\cf0 folglich\plain\f3\fs28 :
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f5\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}P1(A, Omega)
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28
\par Nun betrachten wir ein weiteres Ereignis B.
\par
\par B soll das Ereignis "Die erspielte Zahl ist gr\'f6\'dfer als 70" definieren.
\par Als Menge erhalten wir also
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f5\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}B:= \{k $ k = 70..100\}
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28
\par Wir wollen die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse "A und B" und
\par "A oder B" bestimmen. Zun\'e4chst stellen wir die Prozedur \plain\f3\fs28\cf3 P2\plain\f3\fs28 vor,
\par die die Wahrscheinlichkeit f\'fcr "A oder B" berechnet:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f5\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}P2:= (A, B, Omega) -> nops(A union B)/nops(Omega)
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28
\par Diese Prozedur erh\'e4lt stets \plain\f3\fs28\cf1 drei Argumente\plain\f3\fs28 :
\par
\par \plain\f3\fs28\cf3 1. Argument:\plain\f3\fs28 Eine \plain\f3\fs28\cf1 Menge A (Teilmenge von Omega)\plain\f3\fs28 , die ein Ereignis
\par definiert
\par
\par \plain\f3\fs28\cf3 2. Argument:\plain\f3\fs28 Eine \plain\f3\fs28\cf1 Menge B (Teilmenge von Omega)\plain\f3\fs28 , die ein Ereignis
\par definiert
\par
\par \plain\f3\fs28\cf3 3. Argument:\plain\f3\fs28 Eine \plain\f3\fs28\cf1 Menge Omega (Obermenge von A und B)\plain\f3\fs28 , die der,
\par dem Laplace-Experiment zugrundeliegenden Grundmenge
\par entspricht
\par
\par \plain\f3\fs28\cf2 R\'fcckgabewert\plain\f3\fs28 ist eine \plain\f3\fs28\cf2 rationale Zahl zwischen 0 und 1 oder 0 oder
\par 1 selbst\plain\f3\fs28 , die \plain\f3\fs28\cf2 Laplace-Wahrscheinlichkeit\plain\f3\fs28 des Ereignisses "A oder B".
\par
\par \plain\f3\fs28\cf0 Damit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit f\'fcr "A oder B" mit unseren
\par Mengen zu
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f5\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}P2(A, B, Omega)
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28\cf0
\par Betrachten wir nun abschlie\'dfend noch die Prozedur \plain\f3\fs28\cf3 P3\plain\f3\fs28\cf0 zur Berechnung der
\par Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "A und B":
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f5\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}P3:= (A, B, Omega) -> nops(A intersect B)/nops(Omega)
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28
\par Diese Prozedur erh\'e4lt ebenfalls \plain\f3\fs28\cf1 drei Argumente\plain\f3\fs28 :
\par
\par \plain\f3\fs28\cf3 1. Argument:\plain\f3\fs28 Eine \plain\f3\fs28\cf1 Menge A (Teilmenge von Omega)\plain\f3\fs28 , die ein Ereignis
\par definiert
\par
\par \plain\f3\fs28\cf3 2. Argument:\plain\f3\fs28 Eine \plain\f3\fs28\cf1 Menge B (Teilmenge von Omega)\plain\f3\fs28 , die ein Ereignis
\par definiert
\par
\par \plain\f3\fs28\cf3 3. Argument:\plain\f3\fs28 Eine \plain\f3\fs28\cf1 Menge Omega (Obermenge von A und B)\plain\f3\fs28 , die der
\par dem Laplace-Experiment zugrundeliegenden Grundmenge
\par entspricht
\par
\par \plain\f3\fs28\cf2 R\'fcckgabewert\plain\f3\fs28 ist eine \plain\f3\fs28\cf2 rationale Zahl zwischen 0 und 1 oder 0 oder
\par 1 selbst\plain\f3\fs28 , die \plain\f3\fs28\cf2 Laplace-Wahrscheinlichkeit\plain\f3\fs28 des Ereignisses "A und B".
\par \plain\f3\fs28\cf0
\par Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "A und B" ist also:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f5\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}P3(A, B, Omega)
\par \pard\ri4\plain\f5\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs22\cf0
\par \plain\f3\fs22\cf2\b Aufgaben:\plain\f3\fs22\cf2
\par \plain\f3\fs20\cf2\b 1\plain\f3\fs20\cf2 . Berechnen Sie selbst einmal die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse mit den obigen Prozeduren
\par P1, P2, und P3 (nehmen Sie als Grundmenge Omega weiterhin die Menge der Zahlen von 1 bis 100 an):
\par A: "Die Zahl liegt zwischen 20 und 30"
\par B: "Die Zahl ist kleiner als 15"
\par C: "Die Zahl ist ein ganzzahliges Vielfaches von 5"
\par Berechnen Sie nun die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse
\par E1: "A und B"
\par E2: "A oder B"
\par E3: "A oder C"
\par E4: "B und C"
\par
\par \plain\f3\fs20\cf2\b 2\plain\f3\fs20\cf2 . \'c4ndern Sie die obigen Prozeduren P2 und P3 so ab, dass Sie die Wahrscheinlichkeiten von "A oder B
\par oder C" und "A und B und C" ebenfalls berechnen k\'f6nnen. W\'e4hlen Sie dabei f\'fcr die Prozeduren die
\par Namen P4 und P5, damit Sie die oben implementierten Prozeduren nicht durch gleiche Namenswahl
\par \'fcberschreiben.
\par \plain\f5\fs20\cf0\b _______________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs22\cf0
\par \plain\f3\fs22\cf1\b Anmerkungen:\plain\f3\fs22\cf1
\par \plain\f3\fs20\cf1\b 1\plain\f3\fs20\cf1 . Weitere Anregungen finden Sie in der Buchreihe \plain\f3\fs20\cf3 Mathematik 1 x anders\plain\f3\fs20\cf1 . In dieser Reihe
\par wird eine Vielzahl unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD gel\'f6st. Die
\par B\'fccher k\'f6nnen unter \plain\f4\fs20\cf2 www.schule.mupad.de/literatur\plain\f3\fs20\cf1 kostenfrei kopiert werden.
\par \plain\f3\fs20\cf2
\par \plain\f5\fs20\cf0\b _______________________________________________________________________________
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