\mnb150ÿ{\rtf1\ansi\deff0\deftab720{\fonttbl{\f0\fswiss MS Sans Serif;}{\f1\froman\fcharset2 Symbol;}{\f2\fswiss\fprq2 System;}{\f3\fswiss\fprq2 Arial;}{\f4\fmodern\fprq1 Courier New;}{\f5\froman\fprq2 Times New Roman;}{\f6\fswiss\fprq2 Helvetica;}{\f7\fswiss\fprq2\fcharset1 Arial;}{\f8\froman\fcharset1 Times New Roman;}{\f9\fswiss\fprq2 Verdana;}}
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\deflang1031\pard\ri4\plain\f4\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par
\par \plain\f4\fs20\cf0 Inhalt....: Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung - Ein Beispiel
\par Kategorie.: Unterrichtsmaterial
\par Mathematik: Stochastik, Statistik
\par MuPAD.....: 3.0.0
\par Datum.....: 2002-01-17
\par Autoren...: Julia Faflek
\par Funktionen: random, stats::mean
\par \plain\f4\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs36\cf0\b
\par \plain\f3\fs40\cf0\b Schokoriegelbilder\plain\f3\fs36\cf0\b
\par \plain\f3\fs22\cf0
\par \plain\f3\fs24\cf1 Durch dieses Beispiel wird der statistische Begriff \plain\f3\fs24\cf1\i Mittelwert\plain\f3\fs24\cf1 gegen den theoretischen \plain\f3\fs24\cf1\i
\par Erwartungswert \plain\f3\fs24\cf1 abgegrenzt. Dabei wird veranschaulicht, dass der Mittelwert f\'fcr gr\'f6\'dfer
\par werdenden Stichprobenumfang sich dem Erwartungswert ann\'e4hert.
\par Das Beispiel kann ausgebaut werden, indem man es auf die Begriffe der \plain\f3\fs24\cf1\i Standard-
\par abweichung\plain\f3\fs24\cf1 und der \plain\f3\fs24\cf1\i Varianz\plain\f3\fs24\cf1 \'fcbertr\'e4gt.
\par \plain\f3\fs28\cf0
\par Gegeben ist folgende Fragestellung:\plain\f3\fs28
\par In einem Schokoriegel befindet sich eins von neun verschiedenen Bildern.
\par Eine Person kauft 3 Riegel und \'f6ffnet diese. X gebe die Anzahl der unter-
\par schiedlichen Bilder an, die man auf diese Weise erhalten kann.
\par Wie viele verschiedene Bilder kann man beim Auspacken der drei Riegel im
\par Durchschnitt erwarten?\plain\f9\fs24
\par \plain\f3\fs28
\par Dieses Problem werden wir nun durch eine Simulation mit Zufallszahlen l\'f6sen.
\par Dazu ziehen wir aus den Zahlen von 1 bis 9 drei zuf\'e4llige Ziffern und notieren
\par uns die Anzahl X der unterschiedlichen Ziffern. Das ganze wiederholen wir n mal.
\par Danach bilden wir das arithmetische Mittel \'fcber die n Werte, die wir f\'fcr X berechnet
\par haben.
\par Wir schreiben dazu eine eigene kleine Prozedur.\plain\f3\fs28\cf0
\par \plain\f3\fs22\cf0
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}Schokoriegel := proc(n)
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf2 local A, B, C, a, b, c, anz, durchschnitt, i;
\par begin
\par A:=random(1..9);
\par B:=random(1..9);
\par C:=random(1..9);
\par anz :=[0 $ n];
\par for i from 1 to n do
\par a:=A();
\par b:=B();
\par c:=C();
\par if a<>b then
\par if b<>c and a<>c then
\par anz[i]:=3
\par else
\par anz[i]:=2
\par end_if
\par elif b<>c then
\par anz[i]:=2
\par else
\par anz[i]:=1
\par end_if:
\par end_for;
\par durchschnitt:= float(stats::mean(anz));
\par print(Unquoted, "Durchschnittlich sind "
\par .expr2text(durchschnitt).
\par " verschiedene Bilder zu erwarten.");
\par end_proc;
\par
\par \pard\ri4\plain\f7\fs28\cf0 Nun liefert der Aufruf
\par \plain\f5\fs22\cf2
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}Schokoriegel(30)
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf2
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28 die durchschnittliche Anzahl der verschiedenen Bilder, wenn man 30 mal den
\par Kauf der drei Schokoriegel simuliert.
\par
\par Jetzt wollen wir verstehen, wie wir den Erwartungswert in MuPAD berechnen
\par k\'f6nnen. Wir schreiben eine weitere kleine Prozedur, die als Eingabe eine Liste \plain\f3\fs28\cf2
\par \plain\f4\fs28\cf2 x\plain\f3\fs28 und einen Parameter \plain\f4\fs28\cf2 n\plain\f3\fs28 erh\'e4lt, der die L\'e4nge der Liste angibt.
\par
\par Die Liste \plain\f4\fs28\cf2 x\plain\f3\fs28 enth\'e4lt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen.
\par Die Prozedur basiert genau auf der formelm\'e4\'dfigen Berechnung des Erwartungs-
\par wertes.
\par \plain\f8\fs22\cf0
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}ErwartungsWert := proc(x, n)
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf2 local produkt, summe, i;
\par begin
\par produkt := [0 $ n];
\par summe := 0;
\par for i from 1 to n do
\par produkt[i] := x[i][1] * x[i][2];
\par summe := summe + produkt[i];
\par end_for;
\par return(float(summe));
\par end_proc:
\par
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28 Wir k\'f6nnen dieser Prozedur die Wahrscheinlichkeitsverteilung aus dem
\par Beispiel des Schokoriegels \'fcbergeben.
\par
\par Es gilt hier P(X=1)=1/81, P(X=2)=24/81 und P(X=3)=56/81.
\par
\par Also definieren wir zuerst eine Liste, die die Wahrscheinlichkeitsverteilung
\par darstellt.\plain\f9\fs24
\par \plain\f3\fs28\cf0
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}X := [[1, 1/81], [2, 24/81], [3, 56/81]]
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28
\par Schlie\'dflich \'fcbergeben wir der Prozedur \plain\f4\fs28\cf2 ErwartungsWert\plain\f4\fs28 \plain\f3\fs28 die Liste \plain\f4\fs28\cf2 X\plain\f3\fs28\cf2 \plain\f3\fs28 und
\par die L\'e4nge \plain\f4\fs28\cf2 3\plain\f3\fs28 .
\par \plain\f9\fs24
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}ErwartungsWert(X, 3)
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28
\par Vergleichen wir nun dieses theoretisch berechnete Ergebnis mit den
\par Ergebnissen, die die Prozedur \plain\f4\fs28\cf2 Schokoriegel\plain\f3\fs28 f\'fcr gro\'dfe \plain\f4\fs28\cf2 n\plain\f3\fs28\cf2 \plain\f3\fs28 liefert, so k\'f6nnen
\par wir beobachten, dass sich die Werte tats\'e4chlich dem theoretischen Wert
\par ann\'e4hern.\plain\f3\fs28\cf0
\par
\par \plain\f4\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs22\cf0
\par \plain\f3\fs22\cf1\b Anmerkungen:\plain\f3\fs22\cf1
\par \plain\f3\fs20\cf1\b 1\plain\f3\fs20\cf1 . Weitere Anregungen finden Sie in der Buchreihe \plain\f3\fs20\cf2 Mathematik 1 x anders\plain\f3\fs20\cf1 . In dieser Reihe
\par wird eine Vielzahl unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD gel\'f6st. Die
\par B\'fccher k\'f6nnen unter \plain\f6\fs20\cf3 www.schule.mupad.de/literatur\plain\f3\fs20\cf1 kostenfrei kopiert werden. \plain\f3\fs20\cf3
\par
\par \plain\f4\fs20\cf0\b _______________________________________________________________________________
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\par }