\mnb150ÿ{\rtf1\ansi\deff0\deftab720{\fonttbl{\f0\fswiss MS Sans Serif;}{\f1\froman\fcharset2 Symbol;}{\f2\fswiss\fprq2 System;}{\f3\fswiss\fprq2 Helvetica;}{\f4\fswiss\fprq2 Arial;}{\f5\fmodern\fprq1 Courier New;}{\f6\fswiss\fprq2\fcharset1 Arial;}} {\colortbl\red0\green0\blue0;\red0\green0\blue255;\red0\green128\blue0;\red255\green0\blue0;\red255\green255\blue255;} \deflang1031\pard\ri4\plain\f5\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________ \par \par \plain\f5\fs20\cf0 Inhalt....: Digitales Geld \par Kategorie.: Arbeitsblatt \par Mathematik: Kryptographie, Zahlentheorie \par MuPAD.....: 3.0.0 \par Datum.....: 2003-06-23 \par Autoren...: Julia Faflek \par Funktionen: nextprime, random, igcd, powermod \par \plain\f5\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________ \par \plain\f4\fs36\cf0\b \par \plain\f4\fs40\cf0\b Blinde Signaturen und digitales Geld\plain\f4\fs36\cf0\b \par \plain\f4\fs22\cf0 \par \plain\f4\fs24\cf2 Das Bezahlen im Internet mittels Kreditkartennummer etc. ist immer noch recht unsicher. \par Daher ist es sinnvoll, eine interneteigene W\'e4hrung, sogenanntes digitales Geld, einzuf\'fchren. \par \plain\f5\fs22\cf1 \par \par \plain\f4\fs28\cf0 Wie soll digitales Geld im Internet realisiert werden? Da man durch das Inter- \par net nur Nullen und Einsen schicken kann, muss eine Geldm\'fcnze durch einen \par Bitstring repr\'e4sentiert werden, der als Zahl aufgefasst wird. Die Bank vergibt \par also irgendwie einen autorisierten Bitstring an uns, im Gegenzug wird der \par Wert dieser M\'fcnze von unserem Konto abgebucht. Nun k\'f6nnen wir zu einem \par H\'e4ndler gehen und einkaufen. Nachdem der H\'e4ndler \'fcberpr\'fcft hat, ob es sich \par auch wirklich um "echtes" Geld handelt, schickt er die M\'fcnze zur Bank. Diese \par wiederum wird testen, dass die M\'fcnze auch nicht schon einmal zur Bezahlung \par benutzt wurde. Wir merken, dass bei diesem Vorgehen viele Faktoren zu be- \par r\'fccksichtigen sind, z.B. die eben angesprochene Einmaligkeit des Geldes oder \par die Wahrung der Anonymit\'e4t der Beteiligten. Eine gro\'dfe Hilfe zur Erreichung \par der Ziele bietet die blinde Unterschrift, die auf David Chaum zur\'fcckgeht und \par stark auf RSA beruht. Diese Art von Unterschrift kann man sich wie folgt vor- \par stellen: In einem Briefumschlag befinden sich ein Dokument und ein Kohle- \par papier. Nun kann die Bank durch den Umschlag hindurch das Dokument sig- \par nieren, ohne es gesehen zu haben. Man muss jetzt nur noch das unterschrie- \par bene Dokument aus dem Umschlag herausnehmen. \par \par Schauen wir uns das Ganze nun im Detail an. \par \par Als erstes wird der RSA-Modul \plain\f4\fs28\cf0\i N\plain\f4\fs28\cf0 erzeugt, sowie die Schl\'fcssel der Bank, \plain\f4\fs28\cf0\i e\plain\f4\fs28\cf0 \par ist der \'f6ffentliche und \plain\f4\fs28\cf0\i d\plain\f4\fs28\cf0 der private Schl\'fcssel f\'fcr die 10\'80-M\'fcnzenerstellung. \par \plain\f4\fs22\cf0 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f5\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}p := nextprime(2^600); \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f5\fs28\cf3 q := nextprime(p + 2^16); \par N := p*q; \par e := random(1..N)(): \par while (igcd(e, (p-1)*(q-1)) > 1) do \par e := random(1..N)() \par end_while: \par e; \par d := powermod(e, -1, (p-1)*(q-1)); \par \plain\f4\fs28\cf3 \par \pard\ri4\plain\f5\fs28\cf3 \par \plain\f4\fs28\cf0 Wir wollen von der Bank eine 10\'80-M\'fcnze bekommen. Zun\'e4chst m\'fcssen wir \par eine Zahl \plain\f4\fs28\cf0\i m\plain\f4\fs28\cf0 < \plain\f4\fs28\cf0\i N\plain\f4\fs28\cf0 erzeugen, die einer bestimmten Regel entspricht, die allen \par Beteiligten bekannt ist. Die Zahl muss redundant sein, z.B. hier \plain\f4\fs20\cf3 abcdabcdabcdabcd\plain\f4\fs28\cf0 . \par Dieses \plain\f4\fs28\cf0\i m\plain\f4\fs28\cf0 soll von der Bank unterschrieben werden und damit eine g\'fcltige \par 10\'80-M\'fcnze werden. \par \plain\f6\fs28\cf0 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f5\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}m := 1234123412341234 \par \pard\ri4\plain\f4\fs28\cf0 \par Die Zahl \plain\f4\fs28\cf0\i m\plain\f4\fs28\cf0 muss jetzt "geblendet" werden, also in einen Briefumschlag getan \par werden. Dazu w\'e4hlen wir eine modulo \plain\f4\fs28\cf0\i N\plain\f4\fs28\cf0 invertierbare Zahl \plain\f4\fs28\cf0\i z\plain\f4\fs28\cf0 , die dem Um- \par schlag entspricht. \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f5\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}z := random(1..N)(): \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f5\fs28\cf3 while (igcd(z, N) > 1) do \par z := random(1..N)() \par end_while: \par z \par \pard\ri4\plain\f4\fs28\cf0 \par Nun wird ein \plain\f4\fs28\cf0\i r\plain\f4\fs28\cf0 mit Hilfe des \'f6ffentlichen Schl\'fcssels \plain\f4\fs28\cf0\i e\plain\f4\fs28\cf0 der Bank berechnet, \par welches den Briefumschlag mit dem Kohlepapier repr\'e4sentiert. \par \plain\f5\fs28\cf3 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f5\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}r := powermod(z, e, N) \par \pard\ri4\plain\f6\fs28\cf0 \par Abschlie\'dfend wird die geblendete Nachricht berechnet, die dem kompletten \par Brief entspricht. \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f5\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}c := m * r mod N \par \pard\ri4\plain\f6\fs28\cf0 \par Der Brief, also das \plain\f6\fs28\cf0\i c\plain\f6\fs28\cf0 , wird an die Bank geschickt. Diese soll daraus eine 10\'80- \par M\'fcnze erstellen, indem sie ihren geheimen Schl\'fcssel verwendet.\plain\f4\fs28\cf0 \par \plain\f5\fs22\cf3 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f5\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}s := powermod(c, d, N) \par \pard\ri4\plain\f6\fs28\cf0 \par Dieses \plain\f6\fs28\cf0\i s\plain\f6\fs28\cf0 wird an uns zur\'fcckgeschickt und fungiert als unterschriebenes Doku- \par ment in dem Umschlag. Aber dies ist noch nicht die gew\'fcnschte M\'fcnze. Wir \par m\'fcssen das Dokument noch aus dem Umschlag herausnehmen. Dazu \'fcber- \par legen wir folgendes: \par \pard\li4000\ri4\plain\f5\fs22\cf1 {\pict\wmetafile8\picw3079\pich988\picscalex99\picscaley99\picwgoal1762\pichgoal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}\plain\f5\fs22\cf1 \par \pard\li3000\ri4\plain\f5\fs22\cf1 {\pict\wmetafile8\picw5839\pich988\picscalex98\picscaley99\picwgoal3343\pichgoal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}\plain\f5\fs22\cf1 \par \pard\ri4\plain\f6\fs28\cf0 Wir wollten aber doch die unterschriebene M\'fcnze bekommen. Also berechnen \par wir: \par \pard\li3500\ri4\plain\f5\fs22\cf1 {\pict\wmetafile8\picw4813\pich1155\picscalex99\picscaley99\picwgoal2755\pichgoal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}\plain\f5\fs22\cf1 \par \pard\li4500\ri4\plain\f6\fs28\cf0 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f5\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}Muenze := s*1/z mod N \par \pard\ri4\plain\f4\fs28\cf0 \par Wir \'fcberpr\'fcfen noch kurz, ob die erhaltene M\'fcnze auch wirklich das von der \par Bank unterschriebene \plain\f4\fs28\cf0\i m\plain\f4\fs28\cf0 ist: \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f5\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}is(Muenze - powermod(m, d, N) = 0) \par \pard\ri4\plain\f6\fs28\cf0 \par Es hat also geklappt, die Bank hat das \plain\f6\fs28\cf0\i m\plain\f6\fs28\cf0 unterschrieben, ohne es \'fcberhaupt \par gesehen zu haben. Die Zahl \plain\f6\fs28\cf0\i z\plain\f6\fs28\cf0 diente nur zum Verschleiern von \plain\f6\fs28\cf0\i m\plain\f6\fs28\cf0 . Wir haben \par nun eine autorisierte 10\'80-M\'fcnze und k\'f6nnen bei einem H\'e4ndler damit ein- \par kaufen. Wie funktioniert denn das genau? Der H\'e4ndler \'fcberpr\'fcft mit dem \par \'f6ffentlichen 10\'80-Schl\'fcssel der Bank: \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f5\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}m1 := powermod(Muenze, e, N) \par \pard\ri4\plain\f6\fs28\cf0 \par Wenn die so errechnete Zahl das vorgegebene Redundanzmuster erf\'fcllt, dann \par wei\'df der H\'e4ndler, dass die M\'fcnze echt ist. Anschlie\'dfend schickt er die M\'fcnze \par an die Bank, diese muss noch irgendwie \'fcberpr\'fcfen, ob mit der M\'fcnze schon \par bezahlt wurde. Dieses System ist absolut anonym. Niemand kann von der M\'fcnze \par auf unsere Identit\'e4t schlie\'dfen. Aber wie man leicht vermuten kann, gibt es doch \par weitere Probleme. Wie will die Bank feststellen, dass wir die M\'fcnze nicht mehr- \par mals verwenden? \'dcber all diese Sachen muss man sich Gedanken machen, \par wenn man elektronisches Geld benutzen will. \par \plain\f4\fs20\cf1 \par \plain\f5\fs20\cf0\b _____________________________________________________________________________________ \par \plain\f4\fs22\cf0 \par \plain\f4\fs22\cf2\b Anmerkungen:\plain\f4\fs22\cf2 \par \plain\f4\fs20\cf2\b 1. \plain\f4\fs20\cf2 Unter \plain\f4\fs20\cf2\b\i www.schule.mupad.de/material/\plain\f4\fs20\cf2 befinden sich Notebooks, die sich ebenfalls mit Kryptographie \par \plain\f4\fs20\cf4 ss\plain\f4\fs20\cf2 besch\'e4ftigen. \par \par \plain\f4\fs20\cf2\b 2. \plain\f4\fs20\cf2 Weitere Anregungen finden Sie in der Buchreihe \plain\f4\fs20\cf3 Mathematik 1 x anders\plain\f4\fs20\cf2 . In dieser Reihe wird eine Vielzahl \par \plain\f4\fs20\cf4 ss\plain\f4\fs20\cf2 unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD gel\'f6st. Die B\'fccher k\'f6nnen unter \par \plain\f4\fs20\cf4 ss\plain\f3\fs20\cf1 www.schule.mupad.de/literatur\plain\f4\fs20\cf2 kostenfrei kopiert werden. \par \plain\f4\fs20\cf3 \par \plain\f5\fs20\cf0\b _____________________________________________________________________________________ \par \par \par }