\mnb150<nb wrap="0" txtwidth="80" autowidth="0" pprint="1" typeset="1" xface="Times New Roman" xsize="280" xbold="0" xitalic="0" xcolor="#0000FF" slidents="1" sizemult="71" minsize="160" ifont="0 280 255 0 49 Courier New" ofont="0 280 16711680 0 49 Courier New" tfont="0 280 0 0 34 Arial"><cmd><![CDATA[delete x:
assume(x, Type::Real):]]></cmd></nb>ÿ{\rtf1\ansi\deff0\deftab720{\fonttbl{\f0\fswiss MS Sans Serif;}{\f1\froman\fcharset2 Symbol;}{\f2\fswiss\fprq2 System;}{\f3\fswiss\fprq2 Arial;}{\f4\fmodern\fprq1 Courier New;}{\f5\fswiss\fprq2 Helvetica;}}
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\deflang1031\pard\ri4\plain\f4\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par 
\par \plain\f4\fs20\cf0 Inhalt....: Elementare Datenstrukturen in MuPAD - Mengen   
\par Kategorie.: Handwerkskasten
\par Mathematik: Programmierung
\par MuPAD.....: 3.0.0
\par Datum.....: 2002-02-06
\par Autoren...: Kai Gehrs <acrowley@mupad.de>
\par Funktionen: contains, nops, _union, union, _intersect, intersect, _minus, minus, 
\par Funktionen: op
\par \plain\f4\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs36\cf0\b 
\par \plain\f3\fs40\cf0\b Elementare Datenstrukturen in MuPAD: 
\par Mengen
\par \plain\f3\fs24\cf3 
\par Wir wollen den Umgang mit Mengen in MuPAD kennenlernen.    \plain\f3\fs28\cf0 
\par 
\par \plain\f3\fs28 Mengen haben in MuPAD die Eigenschaften, die man Ihnen auch rein 
\par intuitiv\plain\f3\fs28\cf0 ,\plain\f3\fs28  vom mathematischen Standpunk\plain\f3\fs28\cf0 t her ges\plain\f3\fs28 ehen, zusprechen w\'fcrde. 
\par Ihre Elemente sind nicht geordnet, kein Element kommt mehrfach vor 
\par und man kann mit Mengen die \'fcblichen Mengenoperationen wie 
\par Vereinigungen oder Durchschnitt durchf\'fchren. 
\par 
\par Wir definieren eine Menge M durch die geschwungenen Klammern \plain\f3\fs28\cf2 \{...\}\plain\f3\fs28 :
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}M:= \{1, 2, 3, 4, 5, 1/2, 1/3, PI, E, 0.2\}\plain\f3\fs28\cf2 
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28 
\par In eine Menge k\'f6nnen wir nahezu beliebige Objekte einf\'fcgen. Wir 
\par definieren noch eine zweite Menge und diskutieren dann im folgenden 
\par die wichtigsten Operationen auf Mengen. 
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}N:= \{a, b, c, 1, 2, E, PI\}\plain\f3\fs28\cf2 
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28 
\par Mit Hilfe des Befehl \plain\f3\fs28\cf2 contains\plain\f3\fs28  k\'f6nnen wir pr\'fcfen, ob ein bestimmtes 
\par Element in einer Menge enthalten ist. \plain\f3\fs28\cf2 contains\plain\f3\fs28  erh\'e4lt \plain\f3\fs28\cf3 zwei Argumente\plain\f3\fs28  
\par 
\par \plain\f3\fs28\cf2 1. Argument:\plain\f3\fs28  Die \plain\f3\fs28\cf3 Menge\plain\f3\fs28 , von der gepr\'fcft werden soll, ob sie ein 
\par                        bestimmtes Element enth\'e4lt
\par 
\par \plain\f3\fs28\cf2 2. Argument:\plain\f3\fs28  Das \plain\f3\fs28\cf3 Element\plain\f3\fs28 , von dem gepr\'fcft werden soll, ob es in 
\par                        der Menge enthalten ist
\par 
\par Als \plain\f3\fs28\cf1 R\'fcckgabewert\plain\f3\fs28  erhalten wir stets \plain\f3\fs28\cf1 true\plain\f3\fs28 , falls das Element in der 
\par betrachteten Menge enthalten ist, und \plain\f3\fs28\cf1 false\plain\f3\fs28 , \plain\f3\fs28\cf0 wenn\plain\f3\fs28  dies nicht der Fall 
\par ist. Ein Funktionsaufruf der Funktion \plain\f3\fs28\cf2 contains\plain\f3\fs28  \plain\f3\fs28\cf0 besitzt also stets die\plain\f3\fs28  
\par Form \plain\f3\fs28\cf2 contains( \plain\f3\fs28\cf3 Menge, Element\plain\f3\fs28\cf2  )\plain\f3\fs28\cf0 . 
\par 
\par Wir testen einige Beispiele: 
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}contains(M, 1);
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf2 contains(M, 2);
\par contains(M, 3);
\par contains(M, 23);
\par contains(N, f);
\par contains(N, a)
\par \plain\f3\fs28\cf2 
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28\cf0 Auf Elemente einer Menge greifen wir mit dem Indexoperator zu:
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}M[1], M[2], M[5], M[7], M[9] 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}M[11]
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28\cf0 
\par Die letzte Eingabe verursacht eine Fehlermeldung, da die Menge \plain\f3\fs28\cf2 M\plain\f3\fs28\cf0  
\par nur 10 Elemente hat. 
\par 
\par Die Anzahl der Elemente einer Menge bestimmt man mit dem Befehl 
\par \plain\f3\fs28\cf2 nops\plain\f3\fs28\cf0 . \plain\f3\fs28\cf2 nops\plain\f3\fs28\cf0  erh\'e4lt \plain\f3\fs28\cf3 ein Argument\plain\f3\fs28\cf0 , n\'e4mlich die \plain\f3\fs28\cf3 Menge\plain\f3\fs28\cf0 , deren Element-
\par anzahl zu bestimmen ist. Als \plain\f3\fs28\cf1 R\'fcckgabewert \plain\f3\fs28\cf0 erhalten wir stets eine 
\par \plain\f3\fs28\cf1 nicht negative ganze Zahl\plain\f3\fs28\cf0 . 
\par 
\par F\'fcr unsere Mengen M und N erhalten wir
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}nops(M);
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf2 nops(N)
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28\cf0 
\par Zur Vereinigung von Mengen bietet MuPAD den Befehl \plain\f3\fs28\cf2 _union\plain\f3\fs28\cf0 . 
\par \plain\f3\fs28\cf2 _union \plain\f3\fs28\cf0 erh\'e4lt stets \plain\f3\fs28\cf3 zwei Argumente\plain\f3\fs28\cf0 : 
\par 
\par \plain\f3\fs28\cf2 1. Argument:\plain\f3\fs28\cf0  Eine \plain\f3\fs28\cf3 Menge M\plain\f3\fs28\cf0 
\par \plain\f3\fs28\cf2 2. Argument:\plain\f3\fs28\cf0  Eine \plain\f3\fs28\cf3 Menge N\plain\f3\fs28\cf0 
\par 
\par Der\plain\f3\fs28\cf1  R\'fcckgabewert\plain\f3\fs28\cf0  ist eine \plain\f3\fs28\cf1 Menge\plain\f3\fs28\cf0 , die die Vereinigung der beiden Eingabe-
\par mengen darstellt. Ein Aufruf hat typischerweise die Gestalt
\par \plain\f3\fs28\cf2 _union(\plain\f3\fs28\cf3 Menge M, Menge N\plain\f3\fs28\cf2 )\plain\f3\fs28\cf0 . 
\par 
\par In unserem Fall gilt also:
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}M; 
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf2 N; 
\par _union(M, N)\plain\f3\fs28\cf2 
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28 
\par Statt \plain\f3\fs28\cf2 _union(\plain\f3\fs28\cf3 Menge M, Menge N\plain\f3\fs28\cf2 )\plain\f3\fs28\cf0  k\'f6nnen wir auch \plain\f3\fs28\cf3 Menge M \plain\f3\fs28\cf2 union\plain\f3\fs28\cf3  Menge N\plain\f3\fs28 
\par schreiben, d.h. 
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}M union N 
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28 
\par liefert das gleiche Ergebnis. 
\par 
\par Mit Hilfe von \plain\f3\fs28\cf2 _union\plain\f3\fs28  der \plain\f3\fs28\cf2 union \plain\f3\fs28 k\'f6nnen wir Mengen auch um weitere Elemente 
\par vergr\'f6\'dfern: 
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}M;
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf2 P:= M union \{z, zz, zzz, PI/6\} 
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28\cf0 
\par Zur Durchschnittsbildung von Mengen bietet MuPAD den Befehl \plain\f3\fs28\cf2 _intersect\plain\f3\fs28\cf0 . 
\par \plain\f3\fs28\cf2 _intersect \plain\f3\fs28\cf0 erh\'e4lt stets \plain\f3\fs28\cf3 zwei Argumente\plain\f3\fs28\cf0 : 
\par 
\par \plain\f3\fs28\cf2 1. Argument:\plain\f3\fs28\cf0  Eine \plain\f3\fs28\cf3 Menge M\plain\f3\fs28\cf0 
\par \plain\f3\fs28\cf2 2. Argument:\plain\f3\fs28\cf0  Eine \plain\f3\fs28\cf3 Menge N\plain\f3\fs28\cf0 
\par 
\par \plain\f3\fs28\cf1 R\'fcckgabewert\plain\f3\fs28\cf0  ist eine \plain\f3\fs28\cf1 Menge\plain\f3\fs28\cf0 , die die Schnittmenge der beiden Eingabemengen
\par darstellt. Ein Aufruf besitzt typischerweise die Form \plain\f3\fs28\cf2 _intersect(\plain\f3\fs28\cf3 Menge M, Menge N\plain\f3\fs28\cf2 )\plain\f3\fs28\cf0 . 
\par 
\par In unserem Fall gilt also:
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}M; 
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf2 N; 
\par _intersect(M, N)\plain\f3\fs28\cf2 
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28 
\par Statt \plain\f3\fs28\cf2 _intersect(\plain\f3\fs28\cf3 Menge M, Menge N\plain\f3\fs28\cf2 )\plain\f3\fs28\cf0  k\'f6nnen wir auch \plain\f3\fs28\cf3 Menge M \plain\f3\fs28\cf2 intersect\plain\f3\fs28\cf3  Menge N\plain\f3\fs28 
\par schreiben, d.h. 
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}M intersect N 
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28 
\par liefert das gleiche Ergebnis.
\par 
\par \plain\f3\fs28\cf0 Die Differenzbildung von Mengen erm\'f6glicht MuPAD mit dem Befehl 
\par \plain\f3\fs28\cf2 _minus\plain\f3\fs28\cf0 . \plain\f3\fs28\cf2 _minus \plain\f3\fs28\cf0 erh\'e4lt stets \plain\f3\fs28\cf3 zwei Argumente\plain\f3\fs28\cf0 : 
\par 
\par \plain\f3\fs28\cf2 1. Argument:\plain\f3\fs28\cf0  Eine \plain\f3\fs28\cf3 Menge M\plain\f3\fs28\cf0 
\par \plain\f3\fs28\cf2 2. Argument:\plain\f3\fs28\cf0  Eine \plain\f3\fs28\cf3 Menge N\plain\f3\fs28\cf0 
\par 
\par \plain\f3\fs28\cf1 R\'fcckgabewert\plain\f3\fs28\cf0  ist eine \plain\f3\fs28\cf1 Menge\plain\f3\fs28\cf0 , die die Differenzmenge der beiden 
\par Eingabemengen darstellt. Ein Aufruf ist typischerweise von der Gestalt
\par \plain\f3\fs28\cf2 _minus(\plain\f3\fs28\cf3 Menge M, Menge N\plain\f3\fs28\cf2 )\plain\f3\fs28\cf0 . 
\par 
\par In unserem Fall gilt also:
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}M; 
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf2 N; 
\par _minus(M, N)\plain\f3\fs28\cf2 
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28 
\par Statt \plain\f3\fs28\cf2 _minus(\plain\f3\fs28\cf3 Menge M, Menge N\plain\f3\fs28\cf2 )\plain\f3\fs28\cf0  k\'f6nnen wir auch \plain\f3\fs28\cf3 Menge M \plain\f3\fs28\cf2 minus\plain\f3\fs28\cf3  Menge N\plain\f3\fs28 
\par schreiben, d.h. 
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}M minus N 
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28 
\par liefert das gleiche Ergebnis.
\par 
\par Mit Hilfe des Befehls \plain\f3\fs28\cf2 op \plain\f3\fs28\cf0 lassen sich di\plain\f3\fs28 e Operanden einer Menge 
\par extrahieren. \plain\f3\fs28\cf2 op\plain\f3\fs28  erh\'e4lt stets \plain\f3\fs28\cf3 ein Argument\plain\f3\fs28 , in unserem Fall eine Menge. 
\par Der \plain\f3\fs28\cf1 R\'fcckgabewert\plain\f3\fs28  ist dann die \plain\f3\fs28\cf1 Sequenz der Elemente der Menge\plain\f3\fs28 . 
\par 
\par Wir testen dies an unseren Beispielen:
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}op(M)
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}op(N)
\par \pard\ri4\plain\f4\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs22\cf0 
\par \plain\f3\fs22\cf1\b Aufgaben:\plain\f3\fs22\cf1 
\par \plain\f3\fs20\cf1\b 1\plain\f3\fs20\cf1 . Definieren Sie in MuPAD die Mengen 
\par     {\pict\wmetafile8\picw10248\pich652\picscalex99\picscaley98\picwgoal5864\pichgoal373
0100090000039B09000009001C0000000000050000000B0200000000050000000C028C02082803
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0000050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000030000001E0005
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050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B02000000
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0B0200000000050000000B0200000000030000001E00050000000C02D7028D2A050000000B0200
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00000000
}\plain\f3\fs20\cf1 
\par     und bilden sie Durchschnitte, Vereinigungen und Differenzmengen einiger Kombinationen. 
\par 
\par \plain\f3\fs20\cf1\b 2\plain\f3\fs20\cf1 . F\'fcgen Sie allen Mengen die Elemente a,b und c hinzu. 
\par \plain\f4\fs20\cf0\b _______________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs22\cf0 
\par \plain\f3\fs22\cf3\b Anmerkungen:\plain\f3\fs22\cf3 
\par \plain\f3\fs20\cf3\b 1\plain\f3\fs20\cf3 .  Weitere Anregungen finden Sie in der Buchreihe \plain\f3\fs20\cf2 Mathematik 1 x anders\plain\f3\fs20\cf3 . In dieser Reihe 
\par      wird eine Vielzahl unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD gel\'f6st. Die 
\par      B\'fccher k\'f6nnen unter \plain\f5\fs20\cf1 www.schule.mupad.de/literatur\plain\f3\fs20\cf3  kostenfrei kopiert werden.  
\par \plain\f3\fs20\cf1 
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