\mnb150ÿ{\rtf1\ansi\deff0\deftab720{\fonttbl{\f0\fswiss MS Sans Serif;}{\f1\froman\fcharset2 Symbol;}{\f2\fswiss\fprq2 System;}{\f3\fswiss\fprq2 Arial;}{\f4\fmodern\fprq1 Courier New;}{\f5\fswiss\fprq2 Helvetica;}}
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\deflang1031\pard\ri4\plain\f4\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par
\par \plain\f4\fs20\cf0 Inhalt....: S\'e4ulendiagramme und Histogrammdarstellung
\par Kategorie.: Handwerkskasten
\par Mathematik: Stochastik, Statistik
\par MuPAD.....: 3.1.0
\par Datum.....: 2002-03-03
\par Autoren...: Kai Gehrs
\par Funktionen: |, plot, plot::Bars2d, binomial, plot::Function2d, plot::Histogram2d
\par \plain\f4\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs36\cf0\b
\par \plain\f3\fs40\cf0\b Elementare MuPAD-Funktionen:
\par S\'e4ulendiagramme und Histogrammdarstellung \plain\f3\fs24\cf3
\par
\par Wir wollen lernen, wie wir mit MuPAD die bekannten Histogrammdarstellungen entwerfen
\par k\'f6nnen. \plain\f3\fs28\cf0
\par
\par \plain\f3\fs28 Zur Darstellung von S\'e4ulendiagrammen jeglicher Art stellt MuPAD die Funktion
\par \plain\f3\fs28\cf2 plot::Bars2d\plain\f3\fs28 zur Verf\'fcgung. Diese Funktion erh\'e4lt in der Regel\plain\f3\fs28\cf3 ein Argument \plain\f3\fs28
\par (Es ist durchaus m\'f6glich, der Funktion weitere Argumente zu \'fcbergeben - dies
\par geht aber \'fcber den Rahmen dessen, was wir hier vorstellen m\'f6chten, hinaus.
\par Man kann sich leicht auf der Hilfeseite zu \plain\f3\fs28\cf2 plot::Bars2d\plain\f3\fs28 mit dem Aufruf \plain\f3\fs28\cf2 ?plot::Bars2d\plain\f3\fs28
\par oder direkt \'fcber den Hilfebrowser informieren).
\par
\par \plain\f3\fs28\cf2 1. Argument: \plain\f3\fs28\cf0 Eine \plain\f3\fs28\cf3 doppelt geschachtelte Liste mit beliebigen Zahlen\plain\f3\fs28\cf0 , d.h. ein
\par Objekt der Form \plain\f3\fs28\cf3 [ [ x1, x2, x3, . . . , xk ] ]\plain\f3\fs28\cf0 , wobei \plain\f3\fs28\cf3 x1, x2, x,3, . . . , xk\plain\f3\fs28\cf0
\par die H\'f6hen der einzelnen S\'e4ulen bestimmen.
\par
\par Als \plain\f3\fs28\cf1 R\'fcckgabewert\plain\f3\fs28\cf0 erhalten wir wie immer \plain\f3\fs28\cf1 ein grafisches Objekt\plain\f3\fs28\cf0 , welches wir
\par mit dem Befehl \plain\f3\fs28\cf2 plot\plain\f3\fs28\cf0 auf dem Bildschirm ausgeben lassen k\'f6nnen.
\par Ein Aufruf der Funktion ist also in der Regel von der Form
\par \plain\f3\fs28\cf2 plot( plot::Bars2d(\plain\f3\fs28\cf0 \plain\f3\fs28\cf3 [ [ x1, x2, x3, . . . , xk ] ] \plain\f3\fs28\cf2 ) )\plain\f3\fs28\cf0 .
\par
\par Dazu einige Beispiele:
\par
\par Wir betrachten die Binomialverteilung. Dabei bezeichne im folgenden n die
\par Anzahl der Durchf\'fchrungen des jeweiligen Experiments, p die Trefferwahr-
\par scheinlichkeit und k die Anzahl der jeweiligen Treffer. Die in der Schule
\par \'fcbliche Formel zur Berechnung einer solchen Wahrscheinlichkeit geben
\par wir wie folgt in MuPAD ein:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}B := (n, p, k) -> binomial(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k);
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28\cf0
\par Gehen wir von dem \'fcblichen W\'fcrfelexperiment aus: Mit einem idealen
\par W\'fcrfel werde 6 mal gew\'fcrfelt. Es sei p die Wahrscheinlichkeit, eine 6
\par zu werfen. Dann k\'f6nnen wir die Wahrscheinlichkeitsverteilung der
\par Zufallsgr\'f6\'dfe, die die Anzahl der erzielten Sechsen beschreibt, wie
\par folgt visualisieren:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf0 {\pntext\f1\'b7\tab} \plain\f4\fs28\cf2 plot(plot::Bars2d([[B(6,1/6,k) $ k = 0..6]]))
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28
\par Dabei bedeutet \plain\f3\fs28\cf2 $ k = 0..6\plain\f3\fs28\cf0 , dass die Variable \plain\f3\fs28\cf2 k\plain\f3\fs28\cf0 alle Werte der Menge
\par \{0,1,2,3,4,5,6\} durchl\'e4uft. Alternativ, aber etwas umst\'e4ndlicher, h\'e4tten wir
\par auch schreiben k\'f6nnen:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf0 {\pntext\f1\'b7\tab} \plain\f4\fs28\cf2 plot(plot::Bars2d([[B(6,1/6,0),B(6,1/6,1),B(6,1/6,2),
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf2 B(6,1/6,3),B(6,1/6,4),B(6,1/6,5),
\par B(6,1/6,6)]]))
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28
\par Jetzt erh\'f6hen wir den Wert f\'fcr n. Setzen wir n einmal auf den Wert
\par 20:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf0 {\pntext\f1\'b7\tab} \plain\f4\fs28\cf2 plot(plot::Bars2d([[B(20,1/6,k) $ k = 0..20]]))
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28
\par Man sieht nun schon leicht, wie sich die rechteckigen S\'e4ulen in Form
\par einer Glocke anordnen. Wir zeichnen die Verteilung nochmals f\'fcr
\par n = 100:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf0 {\pntext\f1\'b7\tab} \plain\f4\fs28\cf2 plot(plot::Bars2d([[B(100,1/6,k) $ k = 0..100]]))
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28
\par Auf diese Weise k\'f6nnen wir sch\'f6n verdeutlichen, dass sich die
\par Binomialverteilung tats\'e4chlich sehr gut durch die Normalverteilung
\par approximieren.
\par
\par Als letztes Beispiel betrachten wir den M\'fcnzwurf mit einer idealen
\par M\'fcnze. Wir w\'e4hlen n = 100 und p = 1/2.
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf0 {\pntext\f1\'b7\tab} \plain\f4\fs28\cf2 plot(plot::Bars2d([[B(100,1/2,k) $ k = 0..100]]))
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28
\par Hier sehen \plain\f3\fs28\cf0 wir deutlich, wie sich die Rechtecke im Erwartungswert 50
\par zentrieren. Die Standardabweichung in diesem Beispiel ist gegeben
\par durch die Quadratwurzel aus n * p * (1-p) und besitzt dadurch den Wert \plain\f3\fs28 5.
\par Eine allgemeine Faustformel ist, dass wir die Binomialverteilung
\par durch die Normalverteilung recht gut approximieren k\'f6nnen, wenn
\par n * p * (1-p) > 9 gilt. Hier haben wir n * p * (1-p) = 25, d.h. die Faust-
\par formel ist erf\'fcllt.
\par
\par Wir definieren die Dichte der Normalverteilung in MuPAD:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}phi:= (1/s) * (1 /(sqrt(2*PI))) * exp(-(x-m)^2/(2*s^2))
\par \pard\ri4\plain\f4\fs28\cf1
\par
\par \plain\f3\fs28
\par Dabei bezeichnet m den Erwartungswert und s die Standardabweichung.
\par
\par Darstellen k\'f6nnen wir den Graphen mittels \plain\f3\fs28\cf2 plot::Function2d\plain\f3\fs28 , wobei
\par wir f\'fcr m den Wert 50 (Erwartungswert) und f\'fcr s den Wert 5
\par (Standardabweichung) w\'e4hlen m\'fcssen.
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}plot(plot::Function2d((phi | (m = 50, s = 5)), x = 0..100))
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28\cf0 Statt S\'e4ulendiagramme zu zeichnen, k\'f6nnen wir auch direkt auf die
\par Funktion \plain\f3\fs28\cf2 plot::Histogram2d\plain\f3\fs28\cf0 zur\'fcckgreifen. Diese zeichnet Histogramme
\par im eigentlich Sinne, d.h. S\'e4ulendiagramme, deren Gesamtfl\'e4che sich
\par zu 1 addiert (wie so oft im stochastischen und statischen Kontext
\par gew\'fcnscht). Die Funktion plot::Histogram2d erh\'e4lt f\'fcr unsere Zwecke
\par stets \plain\f3\fs28\cf2 drei Argumente\plain\f3\fs28\cf0 :
\par
\par \plain\f3\fs28\cf2 1. Argument: \plain\f3\fs28\cf0 Eine \plain\f3\fs28\cf3 Liste von Wahrscheinlichkeiten \plain\f3\fs28\cf0 oder\plain\f3\fs28\cf3 relativen
\par H\'e4ufigkeiten\plain\f3\fs28\cf0 , die sich zu 1 aufaddieren.
\par
\par \plain\f3\fs28\cf2 2. Argument: \plain\f3\fs28\cf0 Eine Gleichung der Form\plain\f3\fs28\cf2 \plain\f3\fs28\cf3 Cells = Liste\plain\f3\fs28\cf0 , wobei Liste
\par eine Liste zur Positionierung der Histogramme ist.
\par \plain\f3\fs28\cf3
\par \plain\f3\fs28\cf2 3. Argument: \plain\f3\fs28\cf0 Die\plain\f3\fs28\cf3 \plain\f3\fs28\cf0 Option\plain\f3\fs28\cf3 Area = 1\plain\f3\fs28\cf0 , die daf\'fcr sorgt, dass sich die
\par Gesamtfl\'e4che aller Histogramme zu 1 aufaddiert.\plain\f3\fs28\cf3 \plain\f3\fs28\cf0
\par
\par Als \plain\f3\fs28\cf1 R\'fcckgabewert\plain\f3\fs28\cf0 erhalten wir wie immer \plain\f3\fs28\cf1 ein grafisches Objekt\plain\f3\fs28\cf0 , welches wir
\par mit dem Befehl \plain\f3\fs28\cf2 plot\plain\f3\fs28\cf0 auf dem Bildschirm ausgeben lassen k\'f6nnen.
\par Ein Aufruf der Funktion ist also in der Regel von der Form
\par \plain\f3\fs28\cf2 plot( plot::Histogram2d(\plain\f3\fs28\cf0 \plain\f3\fs28\cf3 [ x1, x2, x3, . . . , xk], Cells = Liste, Area = 1 \plain\f3\fs28\cf2 ) )\plain\f3\fs28\cf0 .
\par \plain\f4\fs28\cf2
\par \plain\f3\fs28\cf0 Wir erproben die Funktion an einem Beispiel: Wir w\'fcrfeln mit einem
\par idealen W\'fcrfel 10000 mal und sammeln die Ergebnisse in einer Liste \plain\f3\fs28\cf2 Erg\plain\f3\fs28\cf0 :
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}Wuerfel:= random(1..6):
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf2 Erg:= [Wuerfel() $ i = 1..10000]:
\par \pard\ri4\plain\f4\fs28\cf2
\par \plain\f3\fs28\cf0 Nun zeichnen wir die zugeh\'f6rigen Histogramme, wobei wir das i-te
\par Histogramm symmetrisch um die "Augenzahl i" mit Breit 1 positionieren,
\par so dass die H\'f6he des betreffenden Histogramms die relative H\'e4ufigkeit
\par angibt:
\par \plain\f4\fs28\cf2
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}plot(plot::Histogram2d(Erg,
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf2 Cells = [i-0.5..i+0.5 $ i = 1..6],
\par Area = 1))
\par \pard\ri4\plain\f4\fs28\cf2
\par \plain\f3\fs28\cf0 Wie wir sehen, liegen die H\'f6hen der Histogramme sehr nah beieinander - ein
\par Zeichen daf\'fcr, dass die relative H\'e4ufigkeit einer jeden Augenzahl mit
\par zunehmender Versuchsanzahl in der Tat gegen die Wahrscheinlicheit zu
\par konvergieren scheint. \plain\f4\fs28\cf2
\par
\par \plain\f4\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs22\cf0
\par \plain\f3\fs22\cf1\b Aufgaben:\plain\f3\fs22\cf1
\par \plain\f3\fs20\cf1\b 1\plain\f3\fs20\cf1 . Visualisieren Sie die Verteilung, die sich aus folgendem Bernoulli-Experiment ergibt: Ein Gl\'fccksgrad wird
\par n-mal gedreht. Dabei soll das Gl\'fccksrad 12 verschiedene Felder aufweisen, die alle mit der gleichen
\par Wahrscheinlichkeit getroffen werden. Zeichnen Sie Histogrammdarstellungen f\'fcr n = 10, 20, 50, 100
\par \plain\f4\fs20\cf0\b _______________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs22\cf0
\par \plain\f3\fs22\cf3\b Anmerkungen:\plain\f3\fs22\cf3
\par \plain\f3\fs20\cf3\b 1\plain\f3\fs20\cf3 . Weitere Anregungen finden Sie in der Buchreihe \plain\f3\fs20\cf2 Mathematik 1 x anders\plain\f3\fs20\cf3 . In dieser Reihe
\par wird eine Vielzahl unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD gel\'f6st. Die
\par B\'fccher k\'f6nnen unter \plain\f5\fs20\cf1 www.schule.mupad.de/literatur\plain\f3\fs20\cf3 kostenfrei kopiert werden.
\par \plain\f3\fs20\cf1
\par \plain\f4\fs20\cf0\b _______________________________________________________________________________
\par
\par
\par }