\mnb150ÿ{\rtf1\ansi\deff0\deftab720{\fonttbl{\f0\fswiss MS Sans Serif;}{\f1\froman\fcharset2 Symbol;}{\f2\fswiss\fprq2 System;}{\f3\fmodern\fprq1 Courier New;}{\f4\fswiss\fprq2 Arial;}{\f5\froman\fprq2 Times New Roman;}{\f6\fswiss\fprq2 Helvetica;}{\f7\fswiss\fprq2 Verdana;}} {\colortbl\red0\green0\blue0;\red255\green0\blue0;\red0\green0\blue255;\red0\green128\blue0;} \deflang1031\pard\ri4\plain\f3\fs20\cf0\b _______________________________________________________________________________________ \par \par \plain\f3\fs20\cf0 Inhalt....: Hypothesentest \par Kategorie.: Arbeitsblatt \par Mathematik: Stochastik, Statistik \par MuPAD.....: 3.0.0 \par Datum.....: 2002-01-17 \par Autoren...: Julia Faflek \par Funktionen: random, _plus, stats::chisquareCDF, stats::chisquareQuantile, stats::csGOFT \par \plain\f3\fs20\cf0\b _______________________________________________________________________________________ \par \plain\f4\fs36\cf0\b \par \plain\f4\fs40\cf0\b Der Chi-Quadrat-Test oder "Wie zuf\'e4llig ist \plain\f4\fs40\cf1\b random\plain\f4\fs40\cf0\b "\plain\f4\fs36\cf0\b \par \plain\f4\fs24\cf3 \par Zufallsgeneratoren sind in vielen Anwendungen wie z.B. der Kryptographie von gro\'dfem Interesse. \par Der Zufall ist ein kostbares Gut, daher sollte die Qualit\'e4t solcher Generatoren sorgf\'e4ltig \'fcberpr\'fcft \par werden. \par \plain\f4\fs28\cf0 \par Wir wollen hier mittels eines Hypothesentests MuPADs Zufallsgenerator \plain\f3\fs28\cf1 random \par \plain\f4\fs28\cf0 f\'fcr gleichverteilte ganze Zahlen \'fcberpr\'fcfen. Folgender Aufruf erzeugt einen Zufalls- \par generator f\'fcr die ganzen Zahlen von 1 bis 6: \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Wuerfel := random(1..6) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs28\cf1 \par \pard\ri4\plain\f4\fs28 Durch den Aufruf \plain\f3\fs28\cf1 Wuerfel()\plain\f4\fs28 wird jeweils eine dieser Zahlen zuf\'e4llig ausgew\'e4hlt: \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Wuerfel(), Wuerfel(), Wuerfel(), Wuerfel() \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs22\cf1 \par \pard\ri4\plain\f4\fs28 Nun simulieren wir 600maliges w\'fcrfeln: \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Experiment := [Wuerfel() $ i = 1..600]: \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs22\cf1 \par \pard\ri4\plain\f4\fs28 Wir bestimmen die absoluten H\'e4ufigkeiten H\plain\f4\fs28\dn4 i\plain\f4\fs28 (i = 1,...,6) der sechs \par m\'f6glichen Zahlen in dieser Liste und schreiben diese in eine Tabelle H: \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}H := table(): \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs28\cf1 for i from 1 to 6 do \par H[i] := nops(select(Experiment, Wurf -> Wurf= i)) \par end_for: \par H \par \plain\f3\fs22\cf1 \par \pard\ri4\plain\f4\fs28 Bei einer Gleichverteilung w\'e4ren im Mittel f\'fcr jede der 6 m\'f6glichen Augen- \par zahlen jeweils 100 W\'fcrfe mit der jeweiligen Augenzahl zu erwarten gewesen. \par In unserem Experiment betragen die absoluten H\'e4ufigkeiten jedoch nicht genau \par 100 f\'fcr jede Augenzahl. Wir k\'f6nnen eine Schwankung der H\'e4ufigkeiten fest- \par stellen. \par Die Frage ist nun, ob diese beobachteten Schwankungen im Rahmen der \par 'normalen' Schwankungen einer Gleichverteilung liegen oder ungew\'f6hnlich \par stark sind. Im letzteren Fall w\'fcrde man die Hypothese einer Gleichverteilung \par verwerfen, also den W\'fcrfel als manipuliert ansehen (bzw. dem MuPAD- \par Generator \plain\f3\fs28\cf1 random\plain\f4\fs28 absprechen, gleichverteilte Zahlen zu erzeugen). \par \par Wir testen die \plain\f4\fs28\cf0 Nullhypothese\plain\f4\fs28 H\plain\f4\fs28\dn4 0 \plain\f4\fs28 "p\plain\f4\fs28\dn4 i\plain\f4\fs28 = 1/6 f\'fcr i = 1,..,6", wobei p\plain\f4\fs28\dn4 i\plain\f4\fs28 die \par Wahrscheinlichkeit f\'fcr die Augenzahl i im Einzelexperiment ist. \par Als Testgr\'f6\'dfe dient die (approximativ) Chi-Quadrat-verteilte Zufalls- \par variable\plain\f3\fs22\cf1 \par \pard\li2500\ri4\plain\f3\fs22\cf2 \plain\f3\fs28\cf2 {\pict\wmetafile8\picw4153\pich1899\picscalex98\picscaley99\picwgoal2378\pichgoal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}\plain\f3\fs22\cf2 \par \pard\ri4\plain\f3\fs22\cf2 \par \plain\f4\fs28 wobei H\plain\f4\fs28\dn4 i\plain\f4\fs28 die im Experiment beobachtete H\'e4ufigkeit f\'fcr i, n = 600 \par die Anzahl der Versuchsdurchf\'fchrungen und n * p\plain\f4\fs28\dn4 i = 600 * 1/6 = 100\plain\f4\fs28 \par die bei Gleichverteilung zu erwartenden mittleren H\'e4ufigkeiten sind. \par In MuPAD k\'f6nnen wir das folgenderweise mit Hilfe des Befehls \plain\f3\fs28\cf1 \par _plus\plain\f4\fs28 , der die Summe berechnet, umsetzen:\plain\f4\fs28\cf0 \par \plain\f4\fs28 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}chiquadrat := _plus((H[i] - 100)^2 / 100 $ i = 1..6) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs22\cf1 \par \pard\ri4\plain\f4\fs28 Je gr\'f6\'dfer dieser beobachtete Wert ist, desto st\'e4rker weicht das \par Experiment vom bei Gleichverteilung im Mittel zu erwartenden \par Ergebnis ab. \par Wir m\'fcssen uns also fragen, ob der von uns beobachtete Wert \par ungew\'f6hnlich gro\'df ist, oder ob er im Rahmen der zu erwartenden \par Abweichungen liegt.\plain\f3\fs22\cf2 \par \plain\f4\fs28 Um diese Frage zu beantworten, betrachten wir genauer die Chi- \par Quadrat-Verteilung: \par Das Einzelexperiment kann k = 6 verschiedene Ergebnisse liefern. \par Die hier vorliegende Chi-Quadrat-Verteilung hat k -1 = 5 Freiheits- \par grade. Die Wahrscheinlichkeit, Werte \plain\f4\fs28\cf2 \plain\f3\fs22\cf2 \par \pard\li2500\ri4\plain\f3\fs28\cf2 {\pict\wmetafile8\picw3704\pich1239\picscalex99\picscaley99\picwgoal2103\pichgoal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}\plain\f3\fs28\cf2 \par \pard\ri4\plain\f4\fs28\cf0 zu beobachten, ist durch die kumulative Verteilungsfunktion (CDF) \par gegeben: \par \plain\f3\fs28\cf2 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}stats::chisquareCDF(5)(float(chiquadrat)) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs22\cf1 \par \pard\ri4\plain\f4\fs28 Der beobachtete Wert \plain\f3\fs28\cf1 chiquadrat\plain\f4\fs28\cf1 \plain\f4\fs28\cf0 ist also keineswegs unge- \par w\'f6hnlich: \par Mit einer Wahrscheinlichkeit von \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}stats::chisquareCDF(5)(float(chiquadrat)) * 100 \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs28\cf1 \par \pard\ri4\plain\f4\fs28\cf0 Prozent sind Werte bis zur beobachteten Gr\'f6sse \par \plain\f3\fs22\cf1 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}float(chiquadrat) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs22\cf1 \par \pard\ri4\plain\f4\fs28\cf0 zu erwarten. \par Nun stellt sich die Frage: Wie gro\'df muss der beobachtete Wert \par \plain\f3\fs28\cf1 chiquadrat\plain\f4\fs28\cf0 werden, damit man ihn als 'ungew\'f6hnlich' bezeichnen \par und Zweifel an der Nullhypothese der Gleichverteilung haben sollte? \par \par Dazu geben wir uns ein Niveau a = 0.01 vor und verwerfen die Hypo- \par these \plain\f4\fs28 H\plain\f4\fs28\dn4 0\plain\f4\fs28\cf0 , wenn die Wahrscheinlichkeit \par \pard\li1500\ri4\plain\f4\fs28\cf0 \plain\f3\fs22\cf2 {\pict\wmetafile8\picw8773\pich914\picscalex98\picscaley98\picwgoal5025\pichgoal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}\plain\f3\fs22\cf2 \par \pard\ri4\plain\f4\fs28\cf0 das Niveau a unterschreitet. \par Es ist also nach dem (1-a)-Quantil (hier 0.99-Quantil) der Chi-Quadrat- \par Verteilung mit 5 Freiheitsgraden gefragt: \par \plain\f3\fs22\cf2 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}stats::chisquareQuantile(5)(0.99) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs22\cf1 \par \pard\ri4\plain\f4\fs28\cf0 Damit darf chiquadrat Werte bis zu 15.086.. annehmen, ohne dass die \par Hypothese \plain\f4\fs28 H\plain\f4\fs28\dn4 0\plain\f4\fs28\cf0 auf dem 0.01-Niveau abgelehnt werden sollte. \par Der von uns beobachtete Wert \par \plain\f4\fs28\dn4 \plain\f3\fs22\cf2 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}float(chiquadrat) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs22\cf1 \par \pard\ri4\plain\f4\fs28\cf0 liegt weit unterhalb der kritischen Grenze 15.086. \par \plain\f4\fs28 Daher wird H\plain\f4\fs28\dn4 0\plain\f4\fs28 nicht abgelehnt und wir gehen davon aus, dass es sich \par bei dem simulierten W\'fcrfel mittels der Funktion \plain\f3\fs28\cf1 random\plain\f4\fs28 um einen idealen \par W\'fcrfel handelt. \par \par Abschlie\'dfend sei angemerkt, dass die \plain\f3\fs28\cf1 stats\plain\f4\fs28 -Bibliothek den Chi-Quadrat- \par Test in der Routine \plain\f3\fs28\cf1 stats::csGoft \plain\f4\fs28 (chi-square goodness of fit test) direkt \par zur Verf\'fcgung stellt. Man ben\'f6tigt daf\'fcr eine Zelleinteilung der reellen \par Achse, die die m\'f6glichen Werte der Einzelexperiment umfasst.\plain\f7\fs24 \par \plain\f4\fs28 F\'fcr unser Beispiel w\'e4hlen wir die 6 Intervalle [i - 0.1, i + 0.1], von denen \par jedes gena eine der 6 m\'f6glichen Zahlen i = 1, 2, ..., 6 enth\'e4lt: \par \plain\f7\fs24 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Zellen := [[i - 0.1, i + 0.1] $ i = 1..6] \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs22\cf1 \par \pard\ri4\plain\f4\fs28\cf0 Die kumulative Verteilungsfunktion einer Gleichverteilung auf den ganzen \par Zahlen i = 1, 2, ..., 6 wird zwar nicht von MuPADs \plain\f3\fs28\cf1 stats\plain\f4\fs28\cf0 -Bibliothek zur Ver- \par f\'fcgung gestellt, ist aber trivial zu definieren, da es sich um eine Treppen- \par funktion handelt: \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}kumVerteilungsfkt := x -> trunc(x)/6: \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs28\cf1 plotfunc2d(XTicksDistance = 1, YTicksDistance = 0.1, \par kumVerteilungsfkt(x), x = 0..7) \par \par \plain\f3\fs22\cf1 \par \pard\ri4\plain\f4\fs28\cf0 Hiermit kann der Chi-Quadrat-Test nun einfach durchgef\'fchrt werden. \par Er vergleicht die im Experiment beobachteten H\'e4ufigkeiten in den \par Zellen mit den erwarteten H\'e4ufigkeiten, falls die Daten der hypothetischen \par Verteilungsfunktion \plain\f3\fs28\cf1 kumVerteilungsfkt\plain\f4\fs28\cf0 gen\'fcgen: \par \plain\f3\fs22\cf2 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}stats::csGOFT(Experiment, Zellen, CDF = kumVerteilungsfkt) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs22\cf1 \par \pard\ri4\plain\f4\fs28\cf0 Der erste Wert in der R\'fcckgabeliste ist der schon oben berechnete Wert \par \plain\f3\fs28\cf1 chiquadrat\plain\f4\fs28\cf0 , ebenso die zweite Zahl in der Liste, die die Wahrscheinlich- \par keit f\'fcr das Auftreten von Werten \par \pard\li3500\ri4\plain\f4\fs28\cf0 \plain\f3\fs22\cf2 {\pict\wmetafile8\picw3704\pich1239\picscalex99\picscaley99\picwgoal2116\pichgoal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F\'fcr weitere Informationen lesen Sie die Hilfeseite von \plain\f3\fs20\cf1 stats::csGOFT\plain\f4\fs20\cf3 (\plain\f3\fs20\cf1 ?stats::csGOFT\plain\f4\fs20\cf3 )\plain\f4\fs20\cf3\b \par 2\plain\f4\fs20\cf3 . Beachten Sie auch den Artikel \plain\f4\fs20\cf1 "The new stats-library in MuPAD 2.5"\plain\f5\fs24 \plain\f4\fs20\cf3 in MathPAD Band 11, \par im Internet verf\'fcgbar unter \plain\f4\fs20\cf1 www.mupad.de/schule+studium/literatur/\plain\f4\fs20\cf3 .\plain\f4\fs20\cf3\b \par 3\plain\f4\fs20\cf3 . Weitere Anregungen finden Sie in der Buchreihe \plain\f4\fs20\cf1 Mathematik 1 x anders\plain\f4\fs20\cf3 . In dieser Reihe \par wird eine Vielzahl unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD gel\'f6st. Die \par B\'fccher k\'f6nnen unter \plain\f6\fs20\cf2 www.schule.mupad.de/literatur\plain\f4\fs20\cf3 kostenfrei kopiert werden. \plain\f4\fs20\cf2 \par \plain\f3\fs20\cf0\b _______________________________________________________________________________ \par \par \par }