\mnb150<nb wrap="0" txtwidth="75" autowidth="0" pprint="1" typeset="1" xface="Times New Roman" xsize="280" xbold="0" xitalic="0" xcolor="#0000FF" slidents="1" sizemult="71" minsize="160" ifont="0 280 255 0 49 Courier New" ofont="0 280 16711680 0 49 Courier New" tfont="0 280 0 0 34 Arial"></nb>ÿ{\rtf1\ansi\deff0\deftab720{\fonttbl{\f0\fswiss MS Sans Serif;}{\f1\froman\fcharset2 Symbol;}{\f2\fswiss\fprq2 System;}{\f3\fmodern\fprq1 Courier New;}{\f4\fswiss\fprq2 Arial;}{\f5\froman\fprq2 Times New Roman;}{\f6\fswiss\fprq2 Helvetica;}}
{\colortbl\red0\green0\blue0;\red0\green128\blue0;\red255\green0\blue0;\red0\green0\blue128;\red0\green0\blue255;\red255\green255\blue255;}
\deflang1031\pard\ri4\plain\f3\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par 
\par \plain\f3\fs20\cf0 Inhalt....: Binomialverteilung 
\par Kategorie.: Grundkurs
\par Mathematik: Stochastik, Statistik  
\par MuPAD.....: 3.0.0
\par Datum.....: 2004-03-31
\par Autoren...: Kai Gehrs <acrowley@mupad.de>
\par Funktionen: float, _plus, binomial, print, for, from, to, stats::binomialPF 
\par \plain\f3\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par \plain\f4\fs36\cf0\b 
\par \plain\f4\fs40\cf0\b Binomialverteilung 
\par 
\par \plain\f4\fs24\cf1 Dieses Arbeitsblatt ist Bestandteil des \plain\f4\fs24\cf1\b MuPAD Grundkurses\plain\f4\fs24\cf1 .\plain\f5\fs24 
\par 
\par \plain\f4\fs28 Wir geben die aus der Schule bekannte Bernoulli-Formel in MuPAD ein:
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}B:= (n, p, k) -> binomial(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)
\par \pard\ri4\plain\f4\fs28 Nun k\'f6nnen wir die entsprechenden Bernoulli-Wahrscheinlichkeiten f\'fcr beliebige 
\par Werte von n, p, k berechnen, wobei n die Anzahl der unabh\'e4ngigen Durchf\'fchrungen 
\par des Experiments bezeichnet, p die zugeh\'f6rige Trefferwahrscheinlichkeit und k die 
\par Anzahl der Treffer, an der wir interessiert sind. 
\par 
\par Die Wahrscheinlichkeit, bei 1000 W\'fcrfen mit einem idealen W\'fcrfel genau 150 
\par Sechsen zu erhalten ist also 
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}float( B(1000, 1/6, 150) ) 
\par \pard\ri4\plain\f4\fs28 Die Wahrscheinlichkeit zwischen 120 und 160 Sechsen zu erhalten, ist gegeben 
\par durch 
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}_plus( float( B(1000, 1/6, i) ) $ i = 120..160)
\par \pard\ri4\plain\f4\fs28 Dabei sorgt der Folgenoperator (Sequenzoperator) "$" daf\'fcr, dass alle Werte 
\par f\'fcr i = 120 bis i = 160 hintereinander geschrieben werden. Diese Folge oder 
\par Sequenz von Werten kann dann direkt mit Hilfe von "_plus" aufaddiert werden.
\par 
\par Die obigen Wahrscheinlichkeiten f\'fcr gro\'dfe Werte von n und k werden in der 
\par Schule, weil sie sich in der Regel mit gew\'f6hnlichen Taschrechnern nicht oder nur 
\par sehr m\'fchselig berechnen lassen, aus vorgefertigten Tabellen abgelesen. Zu nah 
\par scheint dann doch oft der Zusammenhang zwischen angeblich praxisnahen 
\par Aufgaben, deren L\'f6sung sich letztendlich "zuf\'e4llig" aus der im jeweiligen Buch 
\par angegebenen Tabelle ablesen l\'e4\'dft. Mit MuPAD k\'f6nnen wir uns derartige 
\par Tabellen selbst erzeugen:
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}tabelle:= proc(n, p)
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs28\cf2             local i, k;
\par           begin
\par             print(Unquoted, "=================================");
\par             print(Unquoted, "Meine Binomial-Verteilungstabelle");
\par             print(Unquoted, "=================================");
\par             print(Unquoted, "n = ".expr2text(n), 
\par                             " p = ".expr2text(p));  
\par             print(Unquoted, "=================================");
\par   
\par             for i from 0 to n do 
\par               Wkt:= float( 
\par                       _plus( binomial(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k) 
\par                              $ k = 0..i
\par                             )
\par                           ); 
\par               print(Unquoted,"k = ".expr2text(i), 
\par                              " P(X <= k) = ".expr2text(Wkt));
\par             end_for;
\par           end_proc:
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}tabelle(10, 1/6)
\par \pard\ri4\plain\f4\fs28 In einem sp\'e4teren Abschnitt werden wir auch auf Visualisierungsm\'f6glichkeiten 
\par der Binomialverteilung zu sprechen kommen. 
\par 
\par Zum Abschlu\'df dieses Abschnitts weisen wir noch darauf hin, dass das explizite 
\par Eingeben der obigen Bernoulli-Formel in MuPAD eigentlich nicht zwingend not-
\par wendig ist. Die Statistik-Bibliothek stats bietet eine Reihe von vordefinierten 
\par Wahrscheinlichkeitsverteilungen (viel mehr, als wir im Rahmen dieses Grund-
\par kurses behandeln k\'f6nnen bzw. wollen). Darunter befindet sich auch die Binomial-
\par verteilung. Wir wollen unsere erste Rechnung von oben nochmals, aber diesmal 
\par mit Hilfe der Funktion stats::binomialPDF, durchf\'fchren:
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}B:= stats::binomialPF(1000, 1/6): 
\par {\pntext\f1\'b7\tab}float( B(150) )
\par \pard\ri4\plain\f4\fs28 Wie wir sehen, ist dies genau das Ergebnis, welches wir oben schon erhalten 
\par hatten.
\par 
\par \plain\f3\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par \plain\f4\fs22\cf4\b 
\par \plain\f4\fs22\cf3\b \'dcbungen: 
\par 1.\plain\f4\fs22\cf3  Fertigen Sie mit MuPAD eine Binomialverteilungstabelle f\'fcr n = 100 und p = 3/7, indem Sie die 
\par \plain\f4\fs22\cf5 __\plain\f4\fs22\cf3 obigen Prozedur kopieren und in ein MuPAD Notebook (per Copy & Paste) einf\'fcgen. 
\par \plain\f4\fs22\cf5 __\plain\f4\fs22\cf3 Experimentieren Sie ein wenig mit der Prozedur, indem Sie Kleinigkeiten in der Ausgabe mani-
\par \plain\f4\fs22\cf5 __\plain\f4\fs22\cf3 pulieren. K\'f6nnen Sie die Genauigkeit der berechneten Werte herauf- oder heruntersetzen. 
\par \plain\f4\fs22\cf5 __\plain\f4\fs22\cf3 Informieren Sie sich dazu \'fcber die Variable DIGITS in MuPAD.
\par \plain\f3\fs20\cf0\b _______________________________________________________________________________
\par \plain\f4\fs22\cf0 
\par \plain\f4\fs22\cf1\b Anmerkungen:\plain\f4\fs22\cf1 
\par \plain\f4\fs20\cf1\b 1\plain\f4\fs20\cf1 .  Weitere Anregungen finden Sie in der Buchreihe \plain\f4\fs20\cf2 Mathematik 1 x anders\plain\f4\fs20\cf1 . In dieser Reihe 
\par      wird eine Vielzahl unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD gel\'f6st. Die 
\par      B\'fccher k\'f6nnen unter \plain\f6\fs20\cf4 www.schule.mupad.de/literatur\plain\f4\fs20\cf1  kostenfrei kopiert werden. 
\par \plain\f4\fs20\cf4 
\par \plain\f3\fs20\cf0\b _______________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs28\cf2 
\par 
\par }