\mnb150ÿ{\rtf1\ansi\deff0\deftab720{\fonttbl{\f0\fswiss MS Sans Serif;}{\f1\froman\fcharset2 Symbol;}{\f2\fswiss\fprq2 System;}{\f3\fswiss\fprq2 Arial;}{\f4\fmodern\fprq1 Courier New;}{\f5\fswiss\fprq2 Helvetica;}}
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\deflang1031\pard\ri4\plain\f4\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par
\par \plain\f4\fs20\cf0 Inhalt....: Elementare Funktionen zur Kombinatorik
\par Kategorie.: Handwerkskasten
\par Mathematik: Stochastik, Statistik
\par MuPAD.....: 3.0.0
\par Datum.....: 2002-03-5
\par Autoren...: Kai Gehrs
\par Funktionen: fact, binomial,
\par \plain\f4\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs36\cf0\b
\par \plain\f3\fs40\cf0\b Elementare MuPAD-Funktionen:
\par Elementare Funktionen zur Kombinatorik \plain\f3\fs24\cf3
\par
\par MuPAD bietet von sich aus die wichtigsten Funktionen zur elementaren Kombinatorik, d.h.
\par die Berechnung von Fakult\'e4ten und Binomialkoeffizienten.
\par \plain\f3\fs28
\par Die Berechnung von Fakult\'e4ten kann in MuPAD auf zwei verschiedene Arten
\par durchgef\'fchrt werden:
\par
\par \plain\f3\fs28\cf4 1. M\'f6glichkeit: \'dcber den Operator \plain\f3\fs28\cf2 !\plain\f3\fs28\cf0
\par \plain\f3\fs28\cf4
\par 2. M\'f6glichkeit:\plain\f3\fs28\cf0 \plain\f3\fs28\cf4 Mit Hilfe der Funktion\plain\f3\fs28\cf0 \plain\f3\fs28\cf2 fact\plain\f3\fs28\cf0
\par
\par \plain\f3\fs28 F\'fcr Sch\'fclerinnen und Sch\'fcler ist sicherlich die Notation mit \plain\f3\fs28\cf2 !\plain\f3\fs28\cf0 die intuitivere.
\par Daher behandeln wir zun\'e4chst diese Variante und berechnen einige Fakult\'e4ten:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}10!
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}11!
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}12!
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28
\par Rechnen wir mit MuPAD, so m\'fcssen wir auch nicht mehr darauf achten,
\par dass die Fakult\'e4ten zu gro\'df werden k\'f6nnten. Die urspr\'fcnglichen, nicht
\par programmierbaren Taschenrechner konnten Fakult\'e4ten bis etwa 70!
\par ausrechnen. Danach gab es einen "Error Overflow". Mit MuPAD ist dies
\par kein Problem, denn wir k\'f6nnen mit nahezu beliebig gro\'dfen Zahlen
\par rechnen:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}100!
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}1000!
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28
\par Verwenden wir anstatt der Notation mit dem Ausrufezeichen die Funktion
\par \plain\f3\fs28\cf2 fact\plain\f3\fs28\cf0 , so berechnen wir Fakult\'e4ten ganz analog. Die Funktion \plain\f3\fs28\cf2 fact\plain\f3\fs28\cf0 erh\'e4lt
\par stets \plain\f3\fs28\cf3 ein einziges Argument\plain\f3\fs28\cf0 :
\par
\par \plain\f3\fs28\cf2 1. Argument:\plain\f3\fs28\cf0 Eine \plain\f3\fs28\cf3 nicht negative ganze Zahl k\plain\f3\fs28\cf0
\par
\par \plain\f3\fs28\cf1 R\'fcckgabewert \plain\f3\fs28\cf0 ist die \plain\f3\fs28\cf1 Fakult\'e4t der Zahl k\plain\f3\fs28\cf0 .
\par
\par Die obigen Beispiele k\'f6nnen wir also ganz analog auch wie folgt berechnen:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}fact(10)
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}fact(11)
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}fact(12)
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}fact(100)
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}fact(1000)
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28\cf0
\par Betrachten wir nun die Be\plain\f3\fs28 rechnung von Binomialkoeffizienten "n \'fcber k".
\par MuPAD stellt zur Berechnung dieser die Funktion \plain\f3\fs28\cf2 binomial\plain\f3\fs28 bereit.
\par Sie erh\'e4lt stets \plain\f3\fs28\cf3 zwei Argumente\plain\f3\fs28 :
\par
\par \plain\f3\fs28\cf2 1. Argument: \plain\f3\fs28 Eine \plain\f3\fs28\cf3 nicht negative ganze Zahl n\plain\f3\fs28 (n gr\'f6\'dfer oder gleich k)
\par
\par \plain\f3\fs28\cf2 2. Argument:\plain\f3\fs28 Eine \plain\f3\fs28\cf3 nicht negative ganze Zahl k \plain\f3\fs28 (k kleiner oder gleich n)
\par
\par \plain\f3\fs28\cf1 R\'fcckgabewert\plain\f3\fs28 ist der \plain\f3\fs28\cf1 Binomialkoeffizient "n \'fcber k"\plain\f3\fs28 . Ein Aufruf der Funktion
\par ist stets von der Form \plain\f3\fs28\cf2 binomial(\plain\f3\fs28\cf3 n, k\plain\f3\fs28\cf2 )\plain\f3\fs28 .
\par
\par Wir erproben die Funktion an einigen Beispielen:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}hold(binomial(12, 2)) = binomial(12, 2)
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}hold(binomial(49, 6)) = binomial(49, 6)
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}hold(binomial(100, 50)) = binomial(100, 50)
\par \pard\ri4\plain\f4\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs22\cf0
\par \plain\f3\fs22\cf1\b Aufgaben:\plain\f3\fs22\cf1
\par \plain\f3\fs20\cf1\b 1\plain\f3\fs20\cf1 . Experimentieren Sie ein wenig mit den oben vorgestellten Funktionen zur Berechnung von Fakult\'e4ten und
\par Binomialkoeffizienten. Berechnen Sie:
\par (a) 123!
\par (b) 120607!
\par (c) 450 \'fcber 123
\par (c) 12321 \'fcber 23 \plain\f4\fs20\cf0\b
\par _______________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs22\cf0
\par \plain\f3\fs22\cf3\b Anmerkungen:\plain\f3\fs22\cf3
\par \plain\f3\fs20\cf3\b 1\plain\f3\fs20\cf3 . Weitere Anregungen finden Sie in der Buchreihe \plain\f3\fs20\cf2 Mathematik 1 x anders\plain\f3\fs20\cf3 . In dieser Reihe
\par wird eine Vielzahl unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD gel\'f6st. Die
\par B\'fccher k\'f6nnen unter \plain\f5\fs20\cf1 www.schule.mupad.de/literatur\plain\f3\fs20\cf3 kostenfrei kopiert werden.
\par \plain\f3\fs20\cf1
\par \plain\f4\fs20\cf0\b _______________________________________________________________________________
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