\mnb150ÿ{\rtf1\ansi\deff0\deftab720{\fonttbl{\f0\fswiss MS Sans Serif;}{\f1\froman\fcharset2 Symbol;}{\f2\fswiss\fprq2 System;}{\f3\fswiss\fprq2 Arial;}{\f4\fswiss\fprq2\fcharset1 Arial;}{\f5\fswiss\fprq2 Helvetica;}{\f6\fmodern\fprq1 Courier New;}{\f7\froman\fcharset1 Times New Roman;}{\f8\froman\fcharset1 Times New Roman;}{\f9\froman\fprq2 Times New Roman;}{\f10\froman Times New Roman;}}
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\deflang1031\pard\ri4\plain\f6\fs20\cf0 ________________________________________________________________________________
\par
\par Inhalt....: Animation der Binomialverteilung, Approximation durch die Gau\'dffunktion
\par Mathematik: Statistik, Stochastik
\par MuPAD.....: 3.1.1
\par Datum.....: 2005-11-12
\par Autoren...: Christian Koch
\par Funktionen: binomial, Bars2d, \plain\f6\fs22\cf0 VisibleFromTo, \plain\f6\fs20\cf0 binomialPF, map
\par ________________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs40\cf0\b
\par \plain\f4\fs48\cf0 Animation der Binomialverteilung
\par \plain\f4\fs24\cf1
\par \plain\f4\fs24\cf1\b Die Binomialverteilung wird in allen Bundesl\'e4ndern als "Prototyp" im Rahmen des
\par Stochastikunterrichts intensiv behandelt. In diesem Arbeitsblatt soll die mehr oder
\par weniger gute Approximation durch die Gau\'dffunktion visualisiert werden. Dabei wird
\par auch deutlich, wie sich die Binomialverteilung bei wachsendem Stichprobenumfang
\par \plain\f4\fs24\cf1\b\i n\plain\f4\fs24\cf1\b auf den Erwartungswert zusammenzieht.
\par \plain\f10\fs24\cf1
\par \pard\li1500\ri4\plain\f10\fs24\cf0\i
\par \pard\ri4\plain\f3\fs24\cf0 Zum "Aufw\'e4rmen" verwenden wir erst einmal die von MuPAD zu Verf\'fcgung gestellte Funktion
\par zum Berechnen der Binomialkoeffizienten, um die Ver\'e4nderung der Binomialverteilung
\par mit dem Stichprobenumfang \plain\f3\fs24\cf0\i n\plain\f3\fs24\cf0 oder der Einzelwahrscheinlichkeit \plain\f3\fs24\cf0\i p\plain\f3\fs24\cf0 zu visualisieren.
\par \plain\f3\fs24
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f6\fs24\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}B:=(n,p,k)->\plain\f6\fs24\cf3\b binomial\plain\f6\fs24\cf3 (n,k)*p^k*(1-p)^(n-k);
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f6\fs24\cf3 plot(plot::\plain\f6\fs24\cf3\b Bars2d\plain\f6\fs24\cf3 ([B(10,0.5,k)$k=0..10])):
\par
\par \pard\ri4\plain\f4\fs24\cf0 Der naheliegende Ansatz, daraus eine Animation zu machen, scheitert leider:
\par \plain\f8\fs22\cf0
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f6\fs24\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}plot(plot::Bars2d([B(n,0.5,k)$k=0..n],n=10..20)):\plain\f6\fs22\cf3
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f6\fs22\cf3
\par \pard\ri4\plain\f4\fs24\cf0 Vermutlich hat MuPAD dabei Probleme mit der Weitergabe des Animationsparamenters.
\par
\par Man kann nat\'fcrlich alle Verteilungen \'fcbereinander zeichnen.
\par Wenn man dabei noch die Farben ver\'e4ndert, ensteht sogar ein h\'fcbsches Bildchen:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f6\fs24\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}plot(plot::Bars2d([B(n,0.5,k)$k=0..n],Color=[n/20,0,1-n/20])$n=5..20):
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f6\fs22\cf3
\par \pard\ri4\plain\f4\fs24\cf0 Das ist aber nicht das, was wir wollen.
\par Daher erzeugen wir die Histogramme zu\'e4chst als Grafikobjekte in einem Feld und machen sie
\par dann nur f\'fcr bestimmte Zeiten sichtbar. Um die Grenzen der Animation leichter ver\'e4ndern zu
\par k\'f6nnen, werden daf\'fcr Variablen definiert.
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f6\fs24\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}n_u:= 2:
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f6\fs24\cf3 n_o:= 50:
\par p_histo:= plot::Bars2d([B(n,0.5,k) $ k=0..n], Color=[n/n_o,0,1-n/n_o]) $ n=n_u..n_o:
\par ((p_histo[k])::\plain\f6\fs24\cf3\b VisibleFromTo\plain\f6\fs24\cf3 := (k-1)..k) $ k = 1..(n_o-n_u+1):
\par plot(p_histo):
\par
\par \pard\ri4\plain\f4\fs24\cf0 Jetzt variierien wir \plain\f4\fs24\cf0\i p\plain\f4\fs24\cf0 und lassen \plain\f4\fs24\cf0\i n\plain\f4\fs24\cf0 fest:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f6\fs24\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}schritte:=20:
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f6\fs24\cf3 n := 20:
\par p_histo_p:= plot::Bars2d([B(n,s/schritte,k)$k=0..n],Color = [s/schritte,0,1-s/schritte])$s=1..schritte-1:
\par ((p_histo_p[k])::VisibleFromTo:= (k-1)..k) $ k = 1..schritte-1:
\par plot(p_histo_p):
\par \plain\f6\fs22\cf3
\par \pard\ri4\plain\f4\fs24\cf0 Die Gau\'dffunktion soll f\'fcr \plain\f4\fs24\cf0\i n*p*q< 9\plain\f4\fs24\cf0 die Binomialverteilung gut ann\'e4hern:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f6\fs24\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}gauss:= (mu, sigma, x)-> 1/(sqrt(2*PI)*sigma)*exp(-1/2*((x-mu)/sigma)^2);
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f6\fs24\cf3 p_gauss_p:=plot::Function2d(gauss(n*s/schritte, sqrt(n*s/schritte*(1-s/schritte)),k),k=-2..n+2,
\par LineColor = [0, 1, 0], LineWidth=0.7)$s=1..schritte-1:
\par ((p_gauss_p[k])::VisibleFromTo:= (k-1)..k) $ k = 1..schritte-1:
\par plot(p_histo_p, p_gauss_p, Axes=Origin):
\par \plain\f6\fs22\cf3
\par \pard\ri4\plain\f4\fs24\cf0 Schauen wir uns die Animation bei ver\'e4ndertem \plain\f4\fs24\cf0\i n\plain\f4\fs24\cf0 noch ebenfalls mit dieser N\'e4cherung an:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f6\fs24\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}n_u:= 2:
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f6\fs24\cf3 n_o:=50:
\par p := 0.4:
\par p_histo:=plot::Bars2d([B(n,p,k)$k=0..n],Color = [n/n_o,0,1-n/n_o])$n=n_u..n_o:
\par ((p_histo[k])::VisibleFromTo:= (k-1)..k) $ k = 1..(n_o-n_u+1):
\par
\par p_gauss:=plot::Function2d(gauss(n*p, sqrt(n*p*(1-p)),k),k=-2..n+2,
\par LineColor = [0, 1, 0], LineWidth=0.7)$n=n_u..n_o:
\par ((p_gauss[k])::VisibleFromTo:= (k-1)..k) $ k = 1..(n_o-n_u+1):
\par plot(p_histo, p_gauss, ViewingBoxXRange=-2..37):
\par
\par \pard\ri4\plain\f4\fs24\cf0 Es sieht so aus, als ob die Verteilung bei wachsendem \plain\f4\fs24\cf0\i n\plain\f4\fs24\cf0 niedriger und breiter w\'fcrde.
\par Das liegt zum einen daran, dass bei kleinerem \plain\f4\fs24\cf0\i n\plain\f4\fs24\cf0 sich die Wahrscheinlichkeiten auf weniger
\par F\'e4cher verteilen und daher diese F\'e4cher dann "voller" sind. Zum anderen liegt es daran,
\par dass in dieser Darstellung die Obergrenze nicht automatisch dem Stichprobenumfang \plain\f4\fs24\cf0\i n\plain\f4\fs24\cf0
\par gem\'e4\'df angepasst wird.
\par
\par Man muss also die Graphen so strecken, dass sie alle auf der gleiche Breite gezeichnet
\par werden. Das entspricht einer Streckung in Richtung der ersten Achse. Damit die Fl\'e4che
\par gleich bleibt, muss man dann in Richtung der zweiten Achse mit demselben Faktor stauchen.
\par
\par Leider st\'f6\'dft man an dieser Stelle bei MuPAD an zwei Grenzen:
\par Der Abstand der Balkenmittelpunkte bei Bars2D ist immer 1.
\par Animationen werden immer zun\'e4chst komplett berechnet und dann gezeichnet,
\par so dass der gezeichnete Ausschnitt in der Animation gleich bleibt.
\par
\par Daher basteln wir uns zun\'e4chst einen einfachen Ersatz f\'fcr Bars2d mit
\par unten offenen Rechtecken (Stufen) und verwenden dann das Listplot-Objekt:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f6\fs24\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}stufe:= (x,y)->[[x-0.5,0],[x-0.5,y],[x+0.5,y],[x+0.5,0]]:
\par \pard\ri4\plain\f8\fs22\cf0
\par \plain\f4\fs24\cf0 Damit erzeugen wir uns die Punkte zum Zeichnen einer Verteilung und verwenden
\par dabei auch die von MuPAD mitgebrachte Verteilungsfunktion binomialPF
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f6\fs24\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}bin_original := (n, p)->op(stufe(k,stats::binomialPF(n,p)(k)))$k=0..n:
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f6\fs24\cf3 n_u:=2: n_o:=20: p := 0.4:
\par plotfeld_original := plot::Listplot([bin_original(n,p)],Axes=Origin,LineWidth=0.6, PointsVisible=FALSE,
\par LineColor= [n/n_o,0,1-n/n_o])$n=n_u..n_o:
\par ((plotfeld_original[k])::VisibleFromTo:= (k-1)..k) $ k = 1..(n_o-n_u+1):
\par plot(plotfeld_original):
\par \plain\f6\fs22\cf3
\par \pard\ri4\plain\f4\fs24\cf0 Diese Objekte k\'f6nnen wir jetzt leichter manipulieren und definieren uns daf\'fcr
\par Operatoren zum Verschieben und Streckstauchen:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f6\fs24\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}verschiebung:= (vek, x0)->[vek[1]+x0,vek[2]];
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f6\fs24\cf3 streckstauchung:= (vek, faktor)->[vek[1]*faktor,vek[2]/faktor];
\par n_u:=2: n_o:=20: p := 0.4:
\par
\par \pard\ri4\plain\f4\fs24\cf0 Jetzt verschieben und streckstauchen wir die Histogramme so, dass sie alle denselben
\par vertikalen Bereich von 0 bis 100 haben:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f6\fs24\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}bin_verschoben:= (n, p)->\plain\f6\fs24\cf3\b map\plain\f6\fs24\cf3 (bin_original(n,p), verschiebung,0.5);
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f6\fs24\cf3 bin_normiert:= (n, p)->map(bin_verschoben(n,p), streckstauchung, 100/(n+1));
\par \plain\f6\fs22\cf3
\par \pard\ri4\plain\f4\fs24\cf0 Jetzt verschieben und streckstauchen wir die Histogramme so, dass sie alle denselben
\par vertikalen Bereich von 0 bis 100 haben:
\par \plain\f8\fs22\cf0
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f6\fs24\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}p:=0.5: n_u:=2: n_o:=100:
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f6\fs24\cf3 plotfeld_normiert := plot::Listplot([bin_normiert(n,p)],LineWidth=0.6, PointsVisible=FALSE,
\par LineColor= [n/n_o,0,1-n/n_o])$n=n_u..n_o:
\par ((plotfeld_normiert[k])::VisibleFromTo:= (k-1)..k) $ k = 1..(n_o-n_u+1):
\par
\par plot(plotfeld_normiert,YAxisVisible=FALSE, Axes=Origin):
\par \plain\f6\fs22\cf3
\par \pard\ri4\plain\f4\fs24\cf0 Mit diesem Werkzeug sollte man jetzt etwas spielen, \plain\f4\fs24\cf0\i p\plain\f4\fs24\cf0 ver\'e4ndern,
\par die "Konzentration" auf den Erwartungswert erkunden.
\par Der Zusammenhang zum Gesetz der gro\'dfen Zahl sowie die Wurzel(n)-Regel
\par k\'f6nnen thematisiert werden.
\par
\par \plain\f6\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs22\cf0
\par \plain\f3\fs22\cf2\b Aufgaben:
\par \plain\f3\fs22\cf2
\par \plain\f3\fs20\cf2\b 1\plain\f3\fs20\cf2 . Untersuchen Sie systematisch die Abweichungen zwischen der Binomialfunktion und der Gau\'dffunktion.
\par \plain\f3\fs20\cf1 \plain\f3\fs20\cf2 Welcher Fehler wird bei der Faustregelgrenze n*p*q = 9 maximal produziert?
\par \tab
\par \plain\f3\fs20\cf2\b 2\plain\f3\fs20\cf2 . Falls n*p*q kleiner als 9 ist, sollte man vielleicht eher die Poissonverteilung als N\'e4herung f\'fcr die
\par \plain\f3\fs20\cf1 \plain\f3\fs20\cf2 Binomialverteilung nehmen:
\par \tab \tab \tab \tab {\pict\wmetafile8\picw2529\pich1310\picscalex99\picscaley99\picwgoal1442\pichgoal747
010009000003F60300000F001C0000000000050000000B0200000000050000000C021E05E10903
0000001E00050000000C022705F109050000000B0200000000030000001E00050000000C022E05
FC09050000000B0200000000050000000B0200000000030000001E00050000000C0237050D0A05
0000000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000030000001E0005000000
0C023E05180A050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000050000
000B0200000000030000001E00030000001E00050000000C02F902B905050000000B0200000000
050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B02000000
0014000000FF0600000600F602000024000100020000800080FF7FFF7F02000080FF7F0080FF7F
0200040000002D01000004000000F001000008000000FA0200000000000000000000040000002D
01000007000000FC020000000000000000040000002D0101001C000000FB0210FF000000000000
90010000000107000000417269616C000000910D0A3F50EC1200B8A4F177C1A4F1772030F377A5
0E6691040000002D01020005000000020101000000050000000102FFFFFF00050000002E011800
00000500000009020000000004000000080100001C000000FB0210FF0000000000009001000000
010700000054696D6573204E657720526F6D616E00B8A4F177C1A4F1772030F377A50E66910400
00002D0103000B00000026060F000C004D617468547970650000D6001C000000FB0210FF000000
0000009001010000010700000054696D6573204E657720526F6D616E00B8A4F177C1A4F1772030
F377A50E6691040000002D010400040000002D0103001C000000FB0256FF000000000000900100
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00770E0ABC50EC1200B8A4F177C1A4F1772030F377A50E6691040000002D0106001C000000FB02
10FF0000000000009001000000020700000054696D6573204E657720526F6D616E00B8A4F177C1
A4F1772030F377A50E6691040000002D010700040000002D0103001C000000FB0210FF00000000
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77A50E6691040000002D0108001C000000FB0210FF000000000000900100000002070000005379
6D626F6C0000580D0AEA50EC1200B8A4F177C1A4F1772030F377A50E6691040000002D0109001C
000000FB0256FF0000000000009001010000020700000054696D6573204E657720526F6D616E00
B8A4F177C1A4F1772030F377A50E6691040000002D010A001C000000FB0256FF00000000000090
01010000010700000054696D6573204E657720526F6D616E00B8A4F177C1A4F1772030F377A50E
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010300040000002D010400040000002D010800040000002D010900040000002D01070004000000
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0000002D010800040000002D010900040000002D010700040000002D0103000700000021050100
65017C017002040000002D010500040000002D01060007000000210501002D010001F402070000
00210501006C0100016B03040000002D0109000700000021050100D7017C01F803040000002D01
0700040000002D010300040000002D010800040000002D01090007000000210501006C017C0164
04040000002D010A00040000002D010B0007000000210501007801FF00ED04040000002D010400
0700000021050100780192026803040000002D010800040000002D010900070000002105010021
019202F7031C000000FB0210FF000000000000900100000002070000005346204D617468204578
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019C0153020700000021050100C5019C01E3020700000021050100C5019C017303070000002105
0100C5019C0103040700000021050100C5019C0193040700000021050100C5019C01C504080000
00FA0200000000000000000000040000002D010E0004000000F001000007000000FC020000FFFF
FF000000040000002D01000004000000F00101001C000000FB021000070000000000BC02000000
000102022253797374656D0000B30E0A0150EC1200B8A4F177C1A4F1772030F377A50E66910400
00002D010100040000002701FFFF04000000F001020004000000F001030004000000F001040004
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FF040000002701FFFF040000002701FFFF040000002701FFFF040000002701FFFF030000000000
}\plain\f3\fs20\cf2
\par \plain\f3\fs20\cf1 \plain\f3\fs20\cf2 Binomialverteilung nehmen. Untersuchen Sie diese Approximation. Ist n*p*q = 9 eine sinnvolle obere
\par \plain\f3\fs20\cf1 \plain\f3\fs20\cf2 Grenze f\'fcr die Anwendbarkeit dieser N\'e4herungsfunktion?
\par
\par \plain\f3\fs20\cf2\b 3\plain\f3\fs20\cf2 . Verschieben Sie die Binomialverteilung so, dass der Erwartungswert im Ursprung liegt
\par \plain\f3\fs20\cf1 \plain\f3\fs20\cf2 Streckstauchen Sie dann so, dass die Standardabweichung 1 ist und schauen Sie sich die
\par 'Verteilungen als Animation (in Abh\'e4ngigkeit von n oder p) an.
\par
\par \plain\f6\fs20\cf0\b _______________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs22\cf0
\par \plain\f3\fs22\cf1\b Anmerkungen:
\par \plain\f3\fs22\cf1
\par \plain\f3\fs20\cf1\b 1\plain\f3\fs20\cf1 . Nat\'fcrlich kann man das Arbeitsblatt auch nur zur Demonstration einsetzen, ohne die Befehle im Einzelnen
\par anzusprechen.
\par
\par \plain\f3\fs20\cf1\b 2\plain\f3\fs20\cf1 . Weitere Anregungen finden Sie im Web unter \plain\f5\fs20\cf2 schule.mupad.de/material\plain\f3\fs20\cf1 . \plain\f3\fs20\cf2
\par \plain\f6\fs20\cf0\b _______________________________________________________________________________
\par \plain\f4\fs24\cf0
\par }