\mnb150ÿ{\rtf1\ansi\deff0\deftab720{\fonttbl{\f0\fswiss MS Sans Serif;}{\f1\froman\fcharset2 Symbol;}{\f2\fswiss\fprq2 System;}{\f3\fswiss\fprq2 Arial;}{\f4\fmodern\fprq1 Courier New;}{\f5\fswiss\fprq2 Helvetica;}}
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\deflang1031\pard\ri4\plain\f4\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par
\par \plain\f4\fs20\cf0 Inhalt....: Berechnung des asymptotischen Verhaltens einer Funktion
\par Kategorie.: Handwerkskasten
\par Mathematik: Analysis
\par MuPAD.....: 3.1.0
\par Datum.....: 2002-02-06
\par Autoren...: Kai Gehrs
\par Funktionen: limit, infinity, plotfunc2d, YRange, ->
\par \plain\f4\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs36\cf0\b
\par \plain\f3\fs40\cf0\b Elementare MuPAD-Funktionen:
\par Asymptotisches Verhalten von Funktionen \plain\f3\fs24\cf3
\par
\par Grenzverhalten von Funktionen kann in der Regel nicht mit einem gew\'f6hnlichen
\par Taschenrechner bestimmt werden. Dazu bedarf es m\'e4chtigerer Werkzeuge. Eine
\par M\'f6glichkeit, solches asymptotisches Verhalten von Funktionen zu bestimmen,
\par bietet MuPAD in Form der Funktion\plain\f3\fs24\cf2 \plain\f3\fs24\cf3 limit. \plain\f3\fs28\cf0
\par
\par \plain\f3\fs28 Wir wollen die MuPAD Funktion \plain\f3\fs28\cf2 limit\plain\f3\fs28 zur Berechnung des asymptotischen
\par Verhaltens einer Funktion an den R\'e4ndern ihres Definitionsbereichs
\par kennenlernen.
\par
\par Die Funktion \plain\f3\fs28\cf2 limit\plain\f3\fs28\cf0 erh\'e4lt stets \plain\f3\fs28\cf3 zwei Argumente\plain\f3\fs28\cf0 :
\par
\par \plain\f3\fs28\cf2 1. Argument: \plain\f3\fs28\cf0 Die \plain\f3\fs28\cf3 Funktion\plain\f3\fs28\cf0 , deren Verhalten bestimmt werden soll.
\par
\par \plain\f3\fs28\cf2 2. Argument: \plain\f3\fs28\cf0 Eine \plain\f3\fs28\cf3 Gleichung\plain\f3\fs28\cf0 , die angibt, welchen Grenzwert wir
\par betrachten m\'f6chten.
\par
\par \plain\f3\fs28\cf1 R\'fcckgabewert \plain\f3\fs28\cf0 ist der \plain\f3\fs28\cf1 Grenzwert der Funktion\plain\f3\fs28\cf0 an der angegebenen Stelle.
\par
\par Versuchen wir, \plain\f3\fs28\cf2 limit\plain\f3\fs28\cf0 zu verwenden, um das asymptotische Verhalten der
\par e-Funktion zu bestimmen: \plain\f3\fs28
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}f:= x -> exp(x)\plain\f3\fs28\cf2
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28
\par Der Graph der Funktion ist gegeben durch
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}plotfunc2d(f(x), x = -3..3, YRange = -1..10)\plain\f3\fs28\cf2
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28
\par Man sieht ganz deutlich: Die Funktion ist auf der gesamten reellen Achse
\par definiert. F\'fcr x gegen minus Unendlich strebt f gegen 0, f\'fcr x gegen
\par Unendlich strebt sie gegen Unendlich.
\par
\par In MuPAD steht \plain\f3\fs28\cf2 infinity\plain\f3\fs28 f\'fcr den Wert Unendlich. Damit k\'f6nnen wir das
\par asymptotische Verhalten wie folgt bestimmen:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}limit(f(x), x = infinity)\plain\f3\fs28\cf2
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28
\par und entsprechend f\'fcr x gegen minus Unendlich
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}limit(f(x), x = -infinity)\plain\f3\fs28\cf2
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28
\par Betrachten wir nun eine gebrochenrationale Funktion der Gestalt
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}g:= x -> (x^2 - 5*x + 3) / (x^2 - 9)\plain\f3\fs28\cf2
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28
\par Die Funktion besitzt an den Stellen x = 3 und x = -3 Pole. Die
\par Grenzwerte an diesen Polen sind unter Umst\'e4nden unterschiedlich,
\par je nachdem, ob wir den Grenzwert von links oder von rechts
\par betrachten.
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}plotfunc2d(g(x), x = -10..10, YRange = -10..10)\plain\f3\fs28\cf2
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28
\par Als \plain\f3\fs28\cf3 drittes Argument\plain\f3\fs28 k\'f6nnen wir der Funktion \plain\f3\fs28\cf2 limit\plain\f3\fs28 auch die Option \plain\f3\fs28\cf3 Left\plain\f3\fs28
\par oder \plain\f3\fs28\cf3 Right\plain\f3\fs28 zur linksseitigen bzw. rechtsseitigen Grenzwertbestimmung
\par \'fcbergeben.
\par
\par Es gilt also, wie man an der obigen Graphik unschwer verifizieren kann:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}limit(g(x), x = -3, Left);
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf2 limit(g(x), x = -3, Right);
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}limit(g(x), x = 3, Left);
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf2 limit(g(x), x = 3, Right);
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28
\par F\'fcr x gegen Unendlich bzw. x gegen minus Unendlich erhalten wir
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}limit(g(x), x = infinity);
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf2 limit(g(x), x = -infinity);
\par \pard\ri4\plain\f4\fs20\cf0\b _______________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs22\cf0
\par \plain\f3\fs22\cf1\b Aufgaben:\plain\f3\fs22\cf1
\par \plain\f3\fs20\cf1\b 1\plain\f3\fs20\cf1 . Berechnen Sie mit Hilfe der Funktion \plain\f3\fs20\cf2 limit\plain\f3\fs20\cf1 wie oben das asymptotische Verhalten der angegebenen
\par Funktionen:
\par (a) f:= 4*x^2 - 2*x
\par (b) g:= (6*x - 3) / (x^2 - 1)
\par (c) h:= 1 / exp(x) \plain\f3\fs20\cf3
\par \plain\f3\fs20\cf1 (d) l:= 3*exp(x) - 1
\par \plain\f4\fs20\cf0\b _______________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs22\cf0
\par \plain\f3\fs22\cf3\b Anmerkungen:\plain\f3\fs22\cf3
\par \plain\f3\fs20\cf3\b 1\plain\f3\fs20\cf3 . Weitere Anregungen finden Sie in der Buchreihe \plain\f3\fs20\cf2 Mathematik 1 x anders\plain\f3\fs20\cf3 . In dieser Reihe
\par wird eine Vielzahl unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD gel\'f6st. Die
\par B\'fccher k\'f6nnen unter \plain\f5\fs20\cf1 www.schule.mupad.de/literatur\plain\f3\fs20\cf3 kostenfrei kopiert werden.
\par \plain\f3\fs20\cf1
\par \plain\f4\fs20\cf0\b _______________________________________________________________________________
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\par }