\mnb150ÿ{\rtf1\ansi\deff0\deftab720{\fonttbl{\f0\fswiss MS Sans Serif;}{\f1\froman\fcharset2 Symbol;}{\f2\fswiss\fprq2 System;}{\f3\fmodern\fprq1 Courier New;}{\f4\fswiss\fprq2 Arial;}{\f5\fswiss\fprq2 Helvetica;}{\f6\froman\fprq2 Times New Roman;}} {\colortbl\red0\green0\blue0;\red0\green0\blue255;\red255\green0\blue0;\red0\green128\blue0;\red0\green0\blue128;\red255\green255\blue255;} \deflang1031\pard\ri4\plain\f3\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________ \par \par \plain\f3\fs20\cf0 Inhalt....: Asymptotisches Verhalten von Funktionen \par Kategorie.: Grundkurs \par Mathematik: Analysis \par MuPAD.....: 3.1.0 \par Datum.....: 2004-03-31 \par Autoren...: Kai Gehrs \par Funktionen: limit, infinity, Left, Right, partfrac, -> \par \plain\f3\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________ \par \plain\f4\fs36\cf0\b \par \plain\f4\fs40\cf0\b Asymptotisches Verhalten von Funktionen \par \par \plain\f4\fs24\cf3 Dieses Arbeitsblatt ist Bestandteil des \plain\f4\fs24\cf3\b MuPAD Grundkurses\plain\f4\fs24\cf3 .\plain\f6\fs24 \par \par \plain\f4\fs28 Bei der Diskussion gebrochen-rationaler Funktionen ist oft das Verhalten dieser \par Funktionen in einer Umgebung ihrer Definitionsl\'fccken sowie ihr Verhalten f\'fcr x \par gegen unendlich und x gegen minus unendlich von Interesse. MuPAD bietet mit \par der Funktion "limit" die M\'f6glichkeit, Grenzwerte von Funktionen zu berechnen. \par Die Aufrufsyntax dieser MuPAD Routine ist ganz \'e4hnlich zum Gebrauch von \par "solve": Als erstes Argument \'fcbergibt man den Funktionsterm, als zweites \par Argument eine Gleichung der Form "Funktionsvariable = Wert". Ein Aufruf der \par Form "limit(f, x = infinity)" berechnet den Grenzwert der Funktion f f\'fcr x gegen \par unendlich. Ganz analog l\'e4sst sich mittels "limit(f, x = -infinity)" der Grenzwert der \par Funktion f f\'fcr x gegen minus unendlich bestimmen. Anstelle von "infinity" und \par "-infinity" k\'f6nnen wir genauso gut jede andere Zahl betrachten und den ent- \par sprechenden Grenzwert, wenn x gegen diese Zahl konvergiert, berechnen. \par \par Einige Beispiele werden wie immer f\'fcr Klarheit sorgen: \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}f1:= x -> 1/x \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}limit(f1(x), x = infinity) \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}limit(f1(x), x = -infinity) \par \pard\ri4\plain\f4\fs28 Dies sind die Ergebnisse, die wir auch erwartet haben. Die Hyperbelfunktion \par 1/x besitzt die x-Achse als waagerechte Asymptote und n\'e4hert sich dieser \par sowohl f\'fcr x gegen unendlich als auch f\'fcr x gegen minus unendlich. \par \par Als n\'e4chstes wollen wir ein wenig kompliziertere Funktionen betrachten: \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}f2:= x -> (3*x^2 + 2*x) / (4*x^2 - 3) \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}limit(f2(x), x = infinity) \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}limit(f2(x), x = -infinity) \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}f3:= x -> x^3 - x \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}limit(f3(x), x = infinity) \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}limit(f3(x), x = -infinity) \par \pard\ri4\plain\f4\fs28 Anhand des letzten Beispiels kann man sehr sch\'f6n erkennen, dass MuPAD \par uns auch uneigentliche Grenzwerte berechnet, also die Werte unendlich bzw. \par minus unendlich liefert im Fall des kubischen Polynoms x^3 - x liefert. \par \par Bei gebrochen-rationalen Funktionen mit Polstellen k\'f6nnen wir den Grenz- \par wert an einer Polstelle nicht auf die bisherige Weise berechnen, wie es das \par folgende Beispiel der Funktion f4 zeigt, die bei x = -1 und bei x = 1 Polstellen \par besitzt: \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}f4:= x -> (x^2 + 1) / (1 - x^2) \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}limit(f4(x), x = 1) \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}limit(f4(x), x = -1) \par \pard\ri4\plain\f4\fs28 Die Antwort, die uns MuPAD gibt ist "undefiniert", d.h. der Grenzwert existiert \par nicht (nicht einmal im uneigentlichen Sinn). Um zu sehen, warum MuPAD uns \par diesen Grenzwert nicht einfach berechnet, werfen wir einen Blick auf den Graphen \par der Funktion (wir werden erst ein wenig sp\'e4ter genauer lernen, wie wir mit MuPAD \par Funktionen grafisch darstellen k\'f6nnen - an dieser Stelle geben wir daher nur den \par Graphen, nicht aber den Weg an, wie man ihn mit MuPAD erzeugt). Die Funktion, \par die wir betrachten, sieht wie folgt aus: \par \par \pard\li1000\ri4\plain\f4\fs28 {\pict\wmetafile8\picw11531\pich7669\picscalex98\picscaley99\picwgoal6603\pichgoal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}\plain\f4\fs28 \par \pard\ri4\plain\f4\fs28 \par \plain\f4\fs32 Schauen wir uns den Graphen der Funktion an, so sind die Grenzwerte \par an den Stellen x = -1 und x = 1 der Funktion durchaus verschieden - je \par nachdem, ob man sich von rechts oder von links n\'e4hert. Generell m\'fcssen \par wir in MuPAD bei der Untersuchung von Definitionsl\'fccken stets angeben, \par ob wir den "rechtsseitigen Grenzwert" oder den "linksseitigen Grenzwert" \par an einer Stelle berechnet haben m\'f6chten. Den "rechtsseitigen Grenzwert" \par berechnet uns MuPAD, wenn wir dem Aufruf der Funktion "limit" als drittes \par Argument die Zusatzoption "Right" \'fcbergeben. Entsprechend erhalten wir \par den "linksseitigen Grenzwert" durch zus\'e4tzliche Angabe der Option "Left" \par als drittes Argument bei einem Aufruf von "limit". In unserem Beispiel sieht \par dies wie folgt aus: \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}limit(f4(x), x = -1, Left) \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}limit(f4(x), x = -1, Right) \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}limit(f4(x), x = 1, Left) \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}limit(f4(x), x = 1, Right) \par \pard\ri4\plain\f4\fs28 Vergleichen wir die berechneten uneigentlichen Grenzwerte mit dem Graphen \par der Funktion f4 (siehe oben), so wird deutlich, dass die Ergebnisse korrekt sein \par m\'fcssen. \par \par Auf eine letzte Besonderheit gilt es an dieser Stelle noch zu verweisen: Betrachtet \par man gebrochen-rationale Funktionen, deren Z\'e4hlergrad gr\'f6\'dfer ist als ihr Nennergrad, \par so sind die Grenzwerte von x gegen unendlich und x gegen minus unendlich stets \par uneigentlich (d.h. also gleich unendlich oder gleich minus unendlich). In der Regel \par gen\'fcgt einem diese Information aber. Man sucht zus\'e4tzlich eine einfachere Funktion, \par der sich die entsprechende gebrochen-rationale Funktion im Unendlichen ann\'e4hert. \par Den Term einer solchen Funktion k\'f6nnen wir nicht mit "limit" berechnen. Stattdessen \par k\'f6nnen wir jedoch die MuPAD Funktion "partfrac" benutzen, die eine Partialbruchzer- \par legung berechnet. Anhand der Partialbruchzerlegung l\'e4sst sich dann die Asymptote \par ablesen. Auch dazu betrachten wir ein Beispiel: \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}f5:= x -> (x^3 - 2*x + 1) / (2*x^2 - 2) \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}partfrac(f5(x)) \par \pard\ri4\plain\f4\fs28 An der Ausgabe erkennt man leicht, dass f\'fcr x gegen unendlich oder minus unendlich \par der Ausdruck, in dem x nur im Nenner auftaucht, gegen Null konvergiert. Damit ist \par sowohl f\'fcr x gegen unendlich als auch f\'fcr x gegen minus unendlich die lineare Funktion \par x/2 eine Asymptote des Graphen der Funktion f5. \par \par Im "Handwerkskasten" finden sich in dem Notebook "Berechnung des asymptotischen \par Verhaltens einer Funktion" zus\'e4tzliche Beispiele und weitere erg\'e4nzende Erkl\'e4rungen \par zum Umgang mit der Funktion "limit". Zur Berechnung der Partialbruchzerlegung finden \par sich weitere Informationen in dem Notebook "Partialbruchzerlegung", welches eben- \par falls im "Handwerkskasten" verf\'fcgbar ist. \par \par \plain\f3\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________ \par \plain\f4\fs22\cf1\b \par \plain\f4\fs22\cf4\b \'dcbungen: \par \plain\f4\fs20\cf4\b 1.\plain\f4\fs20\cf4 \plain\f4\fs22\cf4 Untersuchen Sie das Verhalten der folgenden Funktionen an den R\'e4ndern ihres Definitionsbereichs \par \plain\f4\fs22\cf5 __\plain\f4\fs22\cf4 und an ihren Polstellen (falls vorhanden). \par \pard\li500\ri4\plain\f6\fs24 {\pict\wmetafile8\picw6522\pich839\picscalex99\picscaley98\picwgoal3699\pichgoal481 0100090000035C3400000000663300000000050000000B0200000000050000000C0247037A1903 0000001E00050000000C0251037D19050000000B0200000000030000001E00050000000C025A03 BD19050000000B0200000000050000000B0200000000030000001E00050000000C026503C01905 0000000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000030000001E0005000000 0C026E03021A050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000050000 000B0200000000030000001E00050000000C027803481A050000000B0200000000050000000B02 00000000050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000030000001E 00050000000C0281038C1A050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B020000 0000050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000030000001E0005 0000000C0283038E1A050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000 050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B02000000 0066330000430F2000CC000000220001010000000083038E1A0000000028000000010100002200 0000010018000000000088660000C40E0000C40E00000000000000000000FFFFFFFFFFFFFFFFFF FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF 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