\mnb150ÿ{\rtf1\ansi\deff0\deftab720{\fonttbl{\f0\fswiss MS Sans Serif;}{\f1\froman\fcharset2 Symbol;}{\f2\fswiss\fprq2 System;}{\f3\fmodern\fprq1 Courier New;}{\f4\fswiss\fprq2 Helvetica;}{\f5\fswiss\fprq2 Arial;}{\f6\fswiss\fprq2\fcharset1 Verdana;}{\f7\fswiss\fprq2\fcharset1 Arial;}}
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\deflang1031\pard\ri4\plain\f3\fs20\cf0 ________________________________________________________________________________
\par
\par Inhalt....: Abstand zweier Punkte
\par Kategorie.: Unterrichtsmaterial
\par Mathematik: Geometrie R^2, Geometrie R^3, Lineare Algebra
\par MuPAD.....: 3.1.0
\par Datum.....: 2004-09-30
\par Autoren...: Kai Gehrs
\par Funktionen: plot, matrix, plot::Arrow3d, Color, RGB::Green, plot::Point3d
\par Funktionen: assume, Type::Real, norm, ViewingBox
\par ________________________________________________________________________________
\par \plain\f6\fs36\cf0\b
\par \plain\f7\fs36\cf0\b Abstand zweier Punkte
\par \plain\f6\fs40\cf0
\par \plain\f5\fs24\cf3 Dieses Arbeitsblatt basiert auf dem gleichbetitelten Abschnitt des Buches \plain\f5\fs24\cf3\b\i "Analytische
\par Geometrie mit MuPAD"\plain\f5\fs24\cf3 (Band 10 der Reihe \plain\f5\fs24\cf3\b\i "Mathematik 1 x anders - Materialien und
\par Werkzeuge f\'fcr computerunterst\'fctztes Lernen\plain\f5\fs24\cf3 , \plain\f5\fs24\cf3\b SciFace Software\plain\f5\fs24\cf3 , \plain\f5\fs24\cf3\b 2004\plain\f5\fs24\cf3 ).
\par
\par Dieses Buch steht unter der Adresse \plain\f5\fs24\cf2\b\ul schule.mupad.de/literatur\plain\f5\fs24\cf3 im PDF-Format zum kosten-
\par losen Download bereit. \plain\f5\fs28\cf0
\par \plain\f5\fs24\cf3
\par \plain\f5\fs28\cf0 Wir k\'f6nnen mit Hilfe des L\'e4ngenbegriffs f\'fcr Vektoren im R\'b2 und R\'b3 nun den
\par Abstand zwischen zwei Punkten im Zweidimensionalen ebenso wie im Drei-
\par dimensionalen berechnen.
\par
\par Im folgenden besch\'e4ftigen wir uns nur mit dem Fall, dass der Abstand zweier
\par Punkte P(p1|p2|p3) und Q(q1|q2|q3) im Raum berechnet werden soll.
\par Die Abstandsberechnung zweier Punkte im Zweidimensionalen macht man im
\par Prinzip genau so wie im dreidimensionalen Fall.
\par
\par Gegeben seien die beiden Punkte P(1|1|1) und Q(-3|0|-4), die wir zun\'e4chst mit
\par MuPAD in ein gemeinsames Koordinatensystem zeichnen:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}P:= plot::Point3d([1,1,1]):
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs28\cf1 Q:= plot::Point3d([-3,0,-4], Color = RGB::Green):
\par plot(P, Q, ViewingBox = [-5..5, -5..5, -5..5])
\par \pard\ri4\plain\f5\fs28\cf0
\par Wie kann man nun den Abstand von P und Q berechnen? Der Abstand der
\par beiden Punkte entspricht offensichtlich genau der L\'e4nge des Vektors zwischen
\par den beiden Punkte:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}VektorPQ:= plot::Arrow3d([1,1,1], [-3,0,-4]):
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs28\cf1 plot(P, Q, VektorPQ, ViewingBox = [-5..5, -5..5, -5..5])
\par \pard\ri4\plain\f5\fs28\cf0
\par Wir m\'fcssen also nur die L\'e4nge des in blauer Farbe eingezeichneten Vektors
\par bestimmen. Geometrisch ist der blaue Vektor genau der Differenzvektor der
\par Vektoren
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}OrtsvektorP:= matrix([1,1,1]);
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs28\cf1 OrtsvektorQ:= matrix([-3,0,-4])
\par \pard\ri4\plain\f5\fs28\cf0
\par Geometrisch ist der blaue Vektor ja nichts anderes, als der "Weg'' von P nach Q.
\par Man gelangt aber von P nach Q, indem man von P aus den zugeh\'f6rigen Ortsvektor
\par in entgegengesetzter Richtung zum Ursprung (0|0|0) zur\'fcckl\'e4uft und dann den Orts-
\par vektor zum Punkt Q in Pfeilrichtung vom Ursprung (0|0|0) hin zum Punkt Q folgt.
\par
\par Damit ist also der Abstand von P und Q gegeben durch
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}norm(OrtsvektorQ - OrtsvektorP, 2)
\par \pard\ri4\plain\f5\fs28\cf0
\par Ganz allgemein k\'f6nnen wir f\'fcr die Berechnung des Abstands zweier allgemeiner
\par Punkte P(p1|p2|p3) und Q(q1|q2|q3) mit MuPAD die folgende Formel
\par angeben:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}assume(\{p1,p2,p3,q1,q2,q3\}, Type::Real):
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs28\cf1 OrtsvektorP:= matrix([p1,p2,p3]):
\par OrtsvektorQ:= matrix([q1,q2,q3]):
\par AbstandPQ:= norm(OrtsvektorQ - OrtsvektorP, 2)
\par \pard\ri4\plain\f5\fs28\cf0
\par \pard\li500\ri4\plain\f5\fs28\cf0\b \'dcbungen:\plain\f5\fs28\cf0
\par \pard\li1000\ri4\plain\f5\fs28\cf0 (i) Zeichen Sie die beiden Punkte P(1|5|-2) und Q(-1|1|-1)
\par in ein gemeinsames Koordinatensystem. Zeichnen Sie den
\par Vektor von P nach Q sowie die Ortsvektoren der Punkte
\par P und Q mit in das Koordinatensystem. Berechnen Sie
\par dann den Abstand der beiden Punkte.
\par
\par (ii) Finden Sie mit MuPAD eine Formel, mit deren Hilfe sich
\par allgemein der Abstand eines Punkte P(p1|p2|p3) mit reellen
\par Zahlen p1,p2,p3 vom Koordinatenursprung berechnen l\'e4sst.
\par
\par (iii) Finden Sie mit MuPAD eine Formel, mit der sich der Ab-
\par stand zweier allgemeiner Punkte P(p1|p2) und Q(q1|q2) im
\par R\'b2 mit reellen Zahlen p1,p2,q1,q2 rechnen l\'e4sst.
\par \pard\ri4\plain\f5\fs28\cf0
\par \plain\f3\fs20\cf0\b _______________________________________________________________________________
\par \plain\f5\fs22\cf0
\par \plain\f5\fs22\cf3\b Anmerkungen:\plain\f5\fs22\cf3
\par \plain\f5\fs20\cf3\b 1\plain\f5\fs20\cf3 . Weitere Anregungen finden Sie in der Buchreihe \plain\f5\fs20\cf1 Mathematik 1 x anders\plain\f5\fs20\cf3 . In dieser Reihe
\par wird eine Vielzahl unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD gel\'f6st. Die
\par B\'fccher k\'f6nnen unter \plain\f4\fs20\cf2 www.schule.mupad.de/literatur\plain\f5\fs20\cf3 kostenfrei kopiert werden. \plain\f5\fs20\cf2
\par \plain\f3\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________\plain\f3\fs28\cf1\b
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\par }