\mnb150ÿ{\rtf1\ansi\deff0\deftab720{\fonttbl{\f0\fswiss MS Sans Serif;}{\f1\froman\fcharset2 Symbol;}{\f2\fswiss\fprq2 System;}{\f3\fmodern\fprq1 Courier New;}{\f4\fswiss\fprq2 Arial;}{\f5\fswiss\fprq2\fcharset1 Arial;}{\f6\fswiss\fprq2 Helvetica;}{\f7\fswiss\fprq2\fcharset1 Verdana;}} {\colortbl\red0\green0\blue0;\red255\green0\blue0;\red0\green128\blue0;\red0\green0\blue255;} \deflang1031\pard\ri4\plain\f3\fs20\cf0 ________________________________________________________________________________ \par \par Inhalt....: Abstand eines Punktes von einer Geraden im R^3 \par Kategorie.: Unterrichtsmaterial \par Mathematik: Geometrie R^2, Geometrie R^3, Lineare Algebra \par MuPAD.....: 3.1.0 \par Datum.....: 2004-09-30 \par Autoren...: Kai Gehrs \par Funktionen: plot, matrix, plot::Curve3d, Color, RGB::Red, RGB::Green, \par Funktionen: RGB::Black, plot::Point3d, solve, assume, Type::Real, \par Funktionen: linalg::scalarProduct, plot::Curve3d, PointSize, norm \par ________________________________________________________________________________ \par \plain\f4\fs28\cf0 \par \plain\f5\fs36\cf0\b Abstand eines Punktes von einer Geraden im R\'b3 \par \plain\f7\fs40\cf0 \par \plain\f4\fs24\cf2 Dieses Arbeitsblatt basiert auf dem gleichbetitelten Abschnitt des Buches \plain\f4\fs24\cf2\b\i "Analytische \par Geometrie mit MuPAD"\plain\f4\fs24\cf2 (Band 10 der Reihe \plain\f4\fs24\cf2\b\i "Mathematik 1 x anders - Materialien und \par Werkzeuge f\'fcr computerunterst\'fctztes Lernen\plain\f4\fs24\cf2 , \plain\f4\fs24\cf2\b SciFace Software\plain\f4\fs24\cf2 , \plain\f4\fs24\cf2\b 2004\plain\f4\fs24\cf2 ). \par \par Dieses Buch steht unter der Adresse \plain\f4\fs24\cf3\b\ul schule.mupad.de/literatur\plain\f4\fs24\cf2 im PDF-Format zum kosten- \par losen Download bereit. \plain\f4\fs28\cf0 \par \par Wir gehen im folgenden davon aus, dass wir eine Gerade g: x = a + k*v und \par einen Punkt P gegeben haben, der nicht auf der Geraden liegt (wenn der Punkt \par P auf der Geraden liegt, dann ist der Abstand von P zu g zwar trivialer Weise 0). \par \par Der Abstand des Punktes P zu der Geraden g soll bestimmt werden. Zur Be- \par rechnung des Abstands m\'fcssen wir im Prinzip das Lot l vom Punkt P auf die \par Gerade g f\'e4llen. Stellen wir uns das Lot als Gerade vor, so besteht ein m\'f6g- \par licher Ansatz darin, einen Lotgerade zu finden, deren St\'fctzvektor durch den \par Ortsvektor des Punktes P gegeben ist und deren Richtungsvektor orthogonal \par zu dem Richtungsvektor der gegebenen Geraden g ist. Anschlie\'dfend bestim- \par men wir den Schnittpunkt der Lotgeraden mit der Geraden g. Ist der Schnitt- \par punkt L, diesen Punkt nennt man auch \plain\f4\fs28\cf0\i Lotfu\'dfpunkt\plain\f4\fs28\cf0 , bestimmt, so ist der Ab- \par stand des Punktes P von der Geraden g gegeben durch die L\'e4nge des Vek- \par tors PL. \par \par Das klingt sehr vielversprechend, doch gibt es einen nicht so ganz einfachen \par Aspekt in unserer \'dcberlegung: Das Affinden eines "richtigen'' Vektors, der \par orthogonal zu dem Richtungsvektor der Geraden g ist und als Richtungsvektor \par f\'fcr die Lotgerade l fungieren kann. \par \par Wie finden wir den "richtigen'' Vektor heraus? Wir stellen uns einfach vor, wir \par h\'e4tten den Lotfu\'df L auf der Geraden g bereits gefunden. Dann muss der Vektor \par LP orthogonal zu dem Richtungsvektor u der Geraden g sein. Die Situation ist \par in dem oben genannten Buch in Form von MuPAD-Grafiken illustriert. \par \par Mathematisch gilt, dass das Skalarprodukt der beiden Vektoren LP und u \par gleich Null sein muss. Wir erhalten also die Gleichung \par \pard\li3500\ri4\plain\f4\fs28\cf0 {\pict\wmetafile8\picw3096\pich921\picscalex98\picscaley99\picwgoal1774\pichgoal523 010009000003FB1C00000000981B00000000050000000B0200000000050000000C029903180C03 0000001E00050000000C029C033A0C050000000B0200000000030000001E00050000000C02A503 5A0C050000000B0200000000050000000B0200000000030000001E00050000000C02A7035C0C05 0000000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000030000001E0005000000 0C02B0037B0C050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000050000 000B0200000000030000001E00050000000C02B2039E0C050000000B0200000000050000000B02 00000000050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000030000001E 00050000000C02BB03BF0C050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B020000 0000050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000030000001E0005 0000000C02C703E10C050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000 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W\'e4re der Punkt L v\'f6llig unbekannt, so w\'e4re die Bestimmung \par von L nicht m\'f6glich (L hat drei Koordinaten, d.h. wir h\'e4tten eine Gleichung mit \par drei Variablen zu l\'f6sen -- die L\'f6sung w\'e4re also in der Regel nicht eindeutig). \par Da der Punkt L aber auf der Geraden liegt, gibt es ein reelles k, so dass f\'fcr \par seinen Ortsvektor l gilt: \par \pard\li3500\ri4\plain\f4\fs28\cf0 {\pict\wmetafile8\picw3488\pich746\picscalex99\picscaley98\picwgoal1978\pichgoal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7AFFFFFFCCCCCCE1E1E1FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF0000 00B4B4B4FFFFFFFFFFFFFFFFFFB4B4B4000000F5F5F5FFFFFFA7A7A7FFFFFFFFFFFFFFFFFFD7D7 D7C0C0C0FFFFFFFFFFFF000000FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF7A7A7A7A7A 7AFFFFFFFFFFFFB4B4B4FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF FF6868680000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000686868FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF0000 00A7A7A7FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF6868687A7A7AFFFFFFFFFFFFB4B4B4FFFFFFFFFFFFFFFF FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF0000 00FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFB4B4B4000000F5F5F5FFFFFFFFFFFFB4B4B4000000FFFFFFFFFFFFC0C0 C0FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF 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als bekannt voraussetzen k\'f6nnen, taucht also nur noch eine Un- \par bekannte (n\'e4mlich k) in den Komponenten von l auf. Setzen wir diese Darstellung \par f\'fcr l in die Gleichung \par \pard\li3500\ri4\plain\f4\fs28\cf0 {\pict\wmetafile8\picw3096\pich921\picscalex98\picscaley99\picwgoal1774\pichgoal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Anschlie\'dfend \par setzen wir den f\'fcr k erhaltenen Wert in die Parameterform der Geraden g ein \par und erhalten so den Ortsvektor l des Lotfu\'dfpunktes. Dann m\'fcssen wir nur noch \par die L\'e4nge von LP berechnen und haben damit den Abstand des Punktes P zur \par Geraden g berechnet. \par \par Schauen wir uns ein Beispiel an: Gegeben sei der Punkt P(1|2|3) und die Gerade \par \par \pard\li2000\ri4\plain\f4\fs28\cf0 {\pict\wmetafile8\picw7583\pich2255\picscalex99\picscaley99\picwgoal4300\pichgoal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