\mnb150ÿ{\rtf1\ansi\deff0\deftab720{\fonttbl{\f0\fswiss MS Sans Serif;}{\f1\froman\fcharset2 Symbol;}{\f2\fswiss\fprq2 System;}{\f3\froman Times New Roman;}{\f4\fmodern\fprq1 Courier New;}{\f5\fswiss\fprq2 Arial;}{\f6\fswiss\fprq2 Helvetica;}{\f7\fmodern Courier New;}{\f8\fswiss\fprq2\fcharset1 Arial;}{\f9\froman\fprq2 Times New Roman;}} {\colortbl\red0\green0\blue0;\red255\green0\blue0;\red0\green0\blue255;\red0\green128\blue0;} \deflang1031\pard\ri4\plain\f4\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________ \par \par \plain\f4\fs20\cf0 Inhalt....: Abiturklausur \par Kategorie.: Arbeitsblatt \par Mathematik: Analysis \par MuPAD.....: 3.1.0 \par Datum.....: 2002-03-06 \par Autoren...: Kai Gehrs \par Funktionen: int, plotfunc2d, YRange, normal, Simplify, partfrac, float \par Funktionen: ->, -->, limit, Right, Left \par \plain\f4\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________ \par \plain\f5\fs36\cf0\b \par \plain\f5\fs40\cf0\b L\'f6sung einer Abiturklausur mit MuPAD \plain\f5\fs24\cf3 \par \par \par In diesem Notebook wollen wir eine Abiturklausur, die im Schuljahr 1996/1997 in Sachsen \par gestellt wurde, mit MuPAD bearbeiten. \par \plain\f5\fs28\cf0 \par \plain\f5\fs28\cf0\b Aufgabe 1.)\plain\f5\fs28\cf0 \par \par Gegeben ist die Funktion \par \plain\f5\fs28\cf0\b {\pict\wmetafile8\picw4232\pich1303\picscalex99\picscaley99\picwgoal2405\pichgoal745 010009000003EC04000009001C0000000000050000000B0200000000050000000C021705881003 0000001E00050000000C0223059310050000000B0200000000030000001E00050000000C022705 B510050000000B0200000000050000000B0200000000030000001E00050000000C023205C01005 0000000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000030000001E0005000000 0C023705E310050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000050000 000B0200000000030000001E00050000000C024105ED10050000000B0200000000050000000B02 00000000050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000030000001E 00050000000C0247051011050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B020000 0000050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000030000001E0005 0000000C0250051A11050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000 050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B02000000 00030000001E00050000000C0257053E11050000000B0200000000050000000B02000000000500 00000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B020000000005 0000000B0200000000050000000B0200000000030000001E00050000000C025F05481105000000 0B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000050000 000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B02000000000500 00000B0200000000030000001E00050000000C0266056C11050000000B0200000000050000000B 0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B020000000005000000 0B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000050000 000B0200000000030000001E00050000000C026E057611050000000B0200000000050000000B02 00000000050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B 0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B020000000005000000 0B0200000000050000000B0200000000030000001E00030000001E00050000000C021403E60905 0000000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000 050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B02000000 00050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B020000 000008000000FA0200000000000000000000040000002D0100001C000000FB0238FF0000000000 0090010000000107000000417269616C000000BF0E0A2914ED1200D89FF177E19FF1772020F377 E10E66CE040000002D01010005000000020101000000050000000102FFFFFF00050000002E0118 0000000500000009020000000004000000080100001C000000FB02E8FE00000000000090010000 00010700000054696D6573204E657720526F6D616E00D89FF177E19FF1772020F377E10E66CE04 0000002D0102000B00000026060F000C004D617468547970650000D0001C000000FB02E8FE0000 000000009001010000010700000054696D6573204E657720526F6D616E00D89FF177E19FF17720 20F377E10E66CE040000002D0103001C000000FB02E8FE00000000000090010000000207000000 5346204D617468204578740014ED1200D89FF177E19FF1772020F377E10E66CE040000002D0104 00040000002D010200040000002D010400040000002D010200040000002D0103001C000000FB02 E8FE0000000000009001000000020700000053796D626F6C000044210A3614ED1200D89FF177E1 9FF1772020F377E10E66CE040000002D010500040000002D010200040000002D0103001C000000 FB023AFF0000000000009001000000010700000054696D6573204E657720526F6D616E00D89FF1 77E19FF1772020F377E10E66CE040000002D010600040000002D010200040000002D0105000400 00002D010200040000002D010300040000002D010500040000002D010200040000002D01050004 0000002D010200040000002D010500040000002D0102000500000009020000FF00040000002D01 0300070000002105010066010F029500040000002D010400040000002D010200040000002D0104 00040000002D010200040000002D010400070000002105010028010F021901040000002D010500 040000002D010300070000002105010078010F029001040000002D010400040000002D01020004 0000002D010400040000002D010200040000002D010400070000002105010029010F020C020400 00002D01050007000000210501003D010F02CD02040000002D010200040000002D010500040000 002D010200070000002105010032018F01DA03040000002D0105000700000021050100D7018F01 9E04040000002D010300070000002105010078018F012605040000002D01050007000000210501 002B018F01E805040000002D010200040000002D010300070000002105010078018F01D2060400 00002D0106000700000021050100320102014E07040000002D01050007000000210501002B018F 01F707040000002D010200070000002105010031018F01D708040000002D010500040000002D01 020007000000210501003401AD02E104040000002D0105000700000021050100D701AD02A50504 0000002D01030007000000210501007801AD022D06040000002D01050007000000210501002D01 AD02EF06040000002D01020007000000210501003401AD02CF07040000002D0104000700000021 050100C501B101BB030700000021050100C501B10163040700000021050100C501B1010B050700 000021050100C501B101B3050700000021050100C501B1015B060700000021050100C501B10103 070700000021050100C501B101AB070700000021050100C501B10153080700000021050100C501 B101DA0808000000FA0200000000000000000000040000002D0107001C000000FB021000070000 000000BC02000000000102022253797374656D0000B1070A9614ED1200D89FF177E19FF1772020 F377E10E66CE040000002D010800040000002701FFFF04000000F001000004000000F001010004 000000F001020004000000F001030004000000F001040004000000F001050004000000F0010600 040000002701FFFF040000002701FFFF040000002701FFFF040000002701FFFF040000002701FF FF040000002701FFFF040000002701FFFF040000002701FFFF040000002701FFFF040000002701 FFFF040000002701FFFF040000002701FFFF030000000000 }\plain\f5\fs28\cf0\b \par \plain\f5\fs28\cf0 \par a.) \tab Geben Sie den gr\'f6\'dften Definitionsbereich von f an, und ermitteln Sie \par \tab f\'fcr den Graphen von f die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. \par \par b.) \tab Bestimmen Sie die Koordinaten der lokalen Extrema sowie die Art der \par \tab Extrema, und untersuchen Sie den Graphen der Funktion f auf die \par \tab Existenz von Wendepunkten. \par \par c.) \tab Untersuchen Sie das Verhalten von f in der Umgebung der Polstelle. \par \tab Ermitteln Sie eine Gleichung der linearen Funktion, deren Graph \par \tab Asymptote an den Graphen von f ist. \par \par d.) \tab Zeichnen Sie den Graphen von f im Intervall -5 <= x <= 5.\plain\f5\fs28\cf0\b \par \plain\f5\fs28\cf0 \par \plain\f5\fs28\cf0\b L\'f6sung: \plain\f5\fs28\cf0 \par \par a) \tab Geben Sie den gr\'f6\'dften Definitionsbereich von f an, und ermitteln Sie \par \tab f\'fcr den Graphen von f die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. \par \plain\f3\fs22\cf2\b\ul \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f7\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}solve(4*x - 4 = 0, x) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs28\cf1 \par \pard\ri4\plain\f5\fs28\cf0 Die Funktion ist also f\'fcr x = 1 nicht definiert. \par \plain\f3\fs22\cf0 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}f:= x -> (x^2 + 2*x + 1) / (4*x - 4) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf1 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f7\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}solve(f(x) = 0, x) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs28\cf1 \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0 Die Funktion besitzt genau eine Nullstelle: Sie liegt bei x = -1. \par \plain\f4\fs22\cf1 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f7\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}f(0) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f7\fs28\cf1 \par \pard\ri4\plain\f5\fs28\cf0 Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist: S(0 | -1/4) \par \plain\f3\fs22\cf3 \par \plain\f5\fs28\cf0 b.) \tab Bestimmen Sie die Koordinaten der lokalen Extrema sowie die Art der \par \tab Extrema, und untersuchen Sie den Graphen der Funktion f auf die \par \tab Existenz von Wendepunkten. \par \plain\f3\fs22\cf0 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f7\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}f'(x) \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f7\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}L:= solve(f'(x) = 0, x) \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f7\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}f''(x) \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f7\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}sign(f''(L[1])), sign(f''(L[2])) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f7\fs28\cf1 \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0 Bei x = -1 befindet ein Hochpunkt der Funktion f(x) und bei x = 3 ein \par Tiefpunkt. Jetzt werden noch die zugeh\'f6rigen y-Koordinaten berechnet. \par \plain\f4\fs22\cf1 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f7\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}f(L[1]), f(L[2]) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f7\fs28\cf1 \par \pard\ri4\plain\f5\fs28\cf0 Das lokale Maximum hat die Koordinaten HP(-1|0), das lokale Minimum TP(3|2). \par Nun zu den Wendepunkten. \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f7\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}solve(f''(x) = 0, x) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f7\fs28\cf1 \par \pard\ri4\plain\f5\fs28\cf0 Man sieht, dass es keine Wendpunkte geben kann, da die zweite Ableitung \par keine Nullstellen besitzt. \par \plain\f3\fs28\cf3 \par \plain\f5\fs28\cf0 c.) \tab Untersuchen Sie das Verhalten von f in der Umgebung der Polstelle. \par \tab Ermitteln Sie eine Gleichung der linearen Funktion, deren Graph \par \tab Asymptote an den Graphen von f ist. \par \plain\f3\fs28\cf3 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f7\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}limit(f(x), x = 1, Right), \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f7\fs28\cf1 limit(f(x), x = 1, Left) \par \pard\ri4\plain\f5\fs28\cf0 Diese Grenzwerte stellen das Verhalten von f(x) an der Polstelle dar. \par \plain\f3\fs28\cf3 \par \plain\f5\fs28\cf0 Jetzt wird eine Gleichung der linearen Funktion ermittelt, deren Graph \par Asymptote an den Graphen von f(x) ist. \par \plain\f3\fs28\cf3 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f7\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}partfrac(f(x), x) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f7\fs28\cf1 \par \pard\ri4\plain\f5\fs28\cf0 Die Funktion y = x/4 + 3/4 ist die Gleichung der gesuchten Asymptote, \par denn f\'fcr x gegen unendlich oder gegen minus unendlich konvergiert \par der Ausdruck mit Nenner x - 1 gegen Null. \par \par d.) \tab Zeichnen Sie den Graphen von f im Intervall -5 <= x <= 5.\plain\f5\fs28\cf0\b \par \plain\f3\fs28\cf3 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f7\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}plotfunc2d(f, x/4 + 3/4, x = -5..5, YRange = -5..5) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f7\fs28\cf1 \par \pard\ri4\plain\f5\fs28\cf0 Dies ist die graphische Darstellung der Funktion mit ihrer Asymptote. \par \par \plain\f5\fs28\cf0\b Aufgabe 2.)\plain\f5\fs28\cf0 \par \par An den Graphen der Funktion f(x) existieren Tangenten, welche durch \par den Koordinatenursprung verlaufen. \par Ermitteln Sie rechnerisch f\'fcr jede dieser Tangenten je eine Gleichung. \par \plain\f3\fs28\cf0 \par \plain\f5\fs28\cf0\b L\'f6sung:\plain\f3\fs28\cf0 \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f7\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Gleichung:= f'(x) * x = f(x) \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f7\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}L:= solve(Gleichung, x) \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f7\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}f'(L[1]), f'(L[2]) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f7\fs28\cf1 \par \pard\ri4\plain\f5\fs28\cf0 Die Tangentengleichungen lauten y = 0 und y = -2*x. Wir zeichnen Sie \par zusammen mit der Funktion f(x) in ein Koordinatensystem: \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f7\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}plotfunc2d(f, 0, -2*x, x = -2..2, YRange = -5..5) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f7\fs28\cf1 \par \pard\ri4\plain\f5\fs28\cf0\b Aufgabe 3.) \par \plain\f5\fs28\cf0 \par Der Graph der Funktion f(x) und die Geraden mit den Gleichungen y = 1/4 * (x+3) \par (x Element von R), x = 3 und x = z (z Element von R ,z>3) begrenzen f\'fcr jeden \par Wert von z jeweils eine Fl\'e4che A(z) vollst\'e4ndig. \par \par (a) \tab Berechnen Sie den Inhalt A(z). \par (b)\tab Berechnen Sie den Wert z, f\'fcr den der Inhalt dieser Fl\'e4che 1 betr\'e4gt. \par (c)\tab Berechnen Sie lim A(z) f\'fcr z geht gegen unendlich. \par \par \par \plain\f5\fs28\cf0\b L\'f6sung\plain\f5\fs28\cf0 \par \par a) \tab Berechnen Sie den Inhalt A(z). \par \plain\f3\fs28\cf0 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f7\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}A:= x -> int(f(x) - (1/4 * (x+3)), x = 3..z) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f7\fs28\cf1 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}A(x) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf1 \par \pard\ri4\plain\f5\fs28\cf0 b) \tab Berechnen Sie den Wert z, f\'fcr den der Inhalt dieser Fl\'e4che 1 \par \tab betr\'e4gt. \par \plain\f3\fs28\cf0 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f7\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}L:= solve( A(x) = 1, z) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf1 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Simplify(L[1]) = float(L[1]) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf1 \par \pard\ri4\plain\f5\fs28\cf0 c) \tab Berechnen Sie lim A(z) f\'fcr z geht gegen unendlich. \par \plain\f3\fs28\cf0 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f7\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}limit(A(x), z = infinity) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f7\fs28\cf1 \par \pard\ri4\plain\f5\fs28\cf0\b Aufgabe 4.) \par \plain\f5\fs28\cf0 \par F\'fcr jedes u (u Element von R, u > 1) wird durch die Punkte A(0|0) B(u|0) und \par C( u|f(u) ) ein Dreieck bestimmt. Ermitteln Sie den Wert u, f\'fcr den das zugeh\'f6rige \par Dreieck den kleinsten Fl\'e4cheninhalt aller so gebildeten Dreiecke hat. \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f7\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}area:= u -> 1/2 * u * f(u) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f7\fs28\cf1 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}area(u) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf1 \par \pard\ri4\plain\f5\fs28\cf0 Die Fl\'e4cheninhaltsformel f\'fcr ein nach Aufgabenstellung gebildetes Dreieck \par ist gegeben durch: \par \plain\f9\fs28\cf3 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f7\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}area'(u); normal(area'(u)) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f7\fs28\cf1 \par \pard\ri4\plain\f5\fs28\cf0 Nun f\'fchren wir eine Untersuchung der Funktion auf relative Extrema durch. \par Ermitteln der Nullstellen der ersten Ableitung: \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f7\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}L:= solve(area'(u) = 0, u) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f7\fs28\cf1 \par \pard\ri4\plain\f5\fs28\cf0 Ermitteln der zweiten Ableitung: \par \plain\f9\fs28\cf3 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}area''(u); \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf1 normal(area''(u)) \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f7\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Wert:= area''(3/4 + 17^(1/2) / 4) \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f7\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}normal(Wert) = float(Wert) \par \pard\ri4\plain\f5\fs28\cf0 Nachweis des Minimums: \par \plain\f4\fs22\cf1 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f7\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}is(Wert > 0) \par \pard\ri4\plain\f5\fs28\cf0 Untersuchung des Verhaltens der Funktion an den R\'e4ndern des \par Definitionsbereiches. \par \plain\f4\fs22\cf1 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f7\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}limit(area(u), u = infinity), \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f7\fs28\cf1 limit(area(u), u = -infinity) \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f7\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}plotfunc2d(area, u = 1..4, YRange = 0..10) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f7\fs28\cf1 \par \pard\ri4\plain\f5\fs28\cf0 Das lokale Minimum ist zugleich globales Minimum. \par \par \plain\f4\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________ \par \plain\f5\fs22\cf0 \par \plain\f5\fs22\cf3\b Anmerkungen:\plain\f5\fs22\cf3 \par \plain\f5\fs20\cf3\b 1\plain\f5\fs20\cf3 . Weitere Anregungen finden Sie in der Buchreihe \plain\f5\fs20\cf1 Mathematik 1 x anders\plain\f5\fs20\cf3 . In dieser Reihe \par wird eine Vielzahl unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD gel\'f6st. Die \par B\'fccher k\'f6nnen unter \plain\f6\fs20\cf2 www.schule.mupad.de/literatur\plain\f5\fs20\cf3 kostenfrei kopiert werden. \plain\f5\fs20\cf2 \par \plain\f4\fs20\cf0\b _______________________________________________________________________________ \par \par \par }